2 cedentis c, d, f, r, s. 5 minoris quantitatis et ma- ioris f. 6 quinque d, f. || partes sunt a, c, f, s. 9 V- c. 12 singulatim a. || V- a, b, c, 1, s. 13 apponuntur b. 14 sub om. a; ex corr, additum d. || praepositione sub f, s. IQ—n multiplex subsuperparticularis , multiplex subsuper- partiens a, b; multiplez subsuperparticularis et multiplex subsuperpartiens c, d, f, 1, r, s; sed in d sub ante super- particularis et superpartiens rasura deletum et ante multiplex posiium esi; in s supra multiplex sub additum est. 18 TiiU' tus in margine legitur in d. 21 Posi autem addunt numerus a, b, f, 1. II huius. modi] supra versum numerus r. 22 com- paratur, omisso est, c.

Inst. Arithm. I, 23. 47

numeri dispositione conveniet. Namque ad unum cuncti, qui sequuntur, omniuni ordine multiplicium sequentias varietatesque custodiunt. Ad primum enim , id est unita- tem, •II- dupius, •III* triphis, •IIII- quadruplus atque ita in ordinem "progredientes omnes texuntur multiplices 5 ■' quantitates7 Quod autem dictum est plus quam semel, id a binario numero principium capit et in infinitum per terDarium, qaaternariumque et ceterorum ordinem se- quentiamque progreditur. Contra hunc vero discrimi- natus est iile , qui vocatur submultiplex ; et liaec quoque lo prima minoris quantitatis^ species est. Hic autem nume- rus huiusmodi est, qui in alterius comparatione productus plus quam semel maioris numerat suromam , sua scilicet quantitate cum eo aequaliter inchoans aequaliterque de- lerminans. Idem autem dico numerat, quod metitur.1 Si i5 igitur bis soium maiorem numerum minor numerus me- tiatur, subduplus vocabitur, si yero ter, subtriplus, si quater, subquadruplus et fit per haec in infinitum pro- gressio, additaque eos semper sub praepositione nomina- bis, ut unus duorum subduplus, trium subtriplus, IIII- 20 ^.a^' subquadruplus appelietur et consequenter.

Cum autem naturaliter muitiplicitas et submultipli- citas infinita sit, eorum quoque species per proprias ge- nerationes in infinita consideratione versantur. Si enim positis in naturali constitutione numeris siugulos per suas 25 sequentias pares eligas, omnium ab uno parium atque in- parium sese sequentium duplices erunt et huius specula- tioDis terminus deficit. ^Ponatur enim naturalis numerus hoc modo: I. II. lil. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X. XI. XII. XIII. XIIII. XV. XVI. XVII. XVIII. XVIIII. XX. 30 Horum ergo si primum sumas parem, id est 11*, primi duplus erit , id est unitatis ; si vero sequentem parem , id est IIII. , secundi duplus est, id est duorum; si vero ter-

4 dnplex b. 7 id om, c. 8 que om. a, b. 18 per
'>^ f. ; esc corr, add. c. 19 super eos 1; super supra ver-
im c, II semper eos c. 21 appellatur a, c, r. 28 de-
ficiet f. 31 duo d. 33 quattuor d. || est post duplug

''»»■ a, c.

48 INST. AEITHM. I, 23.

tium parem sumas, id est •VI*, tertii numeri in uaturali constitutione duplus est, id est ternarii; si vero quartum parem inspicias, id est- VIII- quarli numeri, id est quaterna- rii, dupius estl Idemque in ceteris in infinitum sumentibus

5 sine aliquo inpedimento procedit. Triplices autem nascun- tur, si in eadem dispositione naturali duo semper inter- mittantur, et ^ui post duos sunt, ad naturalem nuinerum comparentur, 'excepto ternario, qui, ut unitatis triplus sit, solum binarium praetermittit? 'Post unum enim et duo

10 tres sunt, qui triplus unius est; rursus post •IIII- et •¥• sunt *\h, qui secundi numeri, id est duorum, Iriplus est; rursus post «VI- sunt -VII- et •VIII- et post hos •VIIII- , qui tertii numeri, id est ternarii triplus est; atque hoc idem in infinitum si quis faciat, sine uUa offensione procediO

15 Quadrupiorum yej[0 generatio incipit, si quis tres nume- ros intermittat. Post unum quippe et duo et •UL sunt •IIU*, qui primi, id est unius, quadruplus est; rursus si intermisero quinarium, senarium et septenarium, octo- narius mihi quartus occurrit, tribus scilicet intermissis,

20 qui binarii, id est secundi numeri quadruplus est; at
vero si post •VIII- tres terminos intermisero, id est •VIIII-
vel -X' vel 'XI^ duodenarius, qui sequitur, ternarii nu-
meri quadruplus est; atque hoc idem in infinitum pro-
gressis necesse est evenire','semperque una terminorum

25 intermissione si crescat adiectio, ordinatas te muUipIicis
numeri vices invenire miraberis.^ Si enim •UII^ inter-
mittas, quincuplus invenitiir, si •V- sescuplus, si -VI-
septuplus/semperque ipsius multiplicationis nomine uno
minus intermissionis vocabulo procreantur. Nam duplus

3 id est quatemarii om. 1.; supra versum b. 4 Itemque a, d; itemque correcttem in idemque r. 6 procedit] In

d 171 margine inferiore additi sunt nimem ah •7« usque ad -X' eorumque dupli, tripli, quadrupli, quincupli; quos praecedunt inscriptiones Simplus, Duplus cet. 10 -III' c, d. || quat- tuor d. 13 quidem a, f. 14 facit correctum in fa-

ciat a, faciet r. |{ defensione, de in of muiato c. 15 •III* >
c. 16 II- d, duos f. [I tres f. 21 octo d. 26 qua-
tuor c. 27 quinque f. || sexcuplus c, f. || sex d.

Inst. Abithm. I, 24. 49

unum iDtermittit, triplas •U* quadrupliis •III- quincuplus -f- •IIII- et deinceps ad eundem ordinem sequentia est? Et onanes quidem dupli secundum proprias sequentias parium numerorum pares sunt; tripli vero unus semper par ter- minus, inpar alius invenitur; quadrupli vero rursus sem- 5 per parem custodiunt quanlitatem constituunturque a quarto numero uno ex prioribus per ordinem positis pa- ribus iniermisso, primo pari binario, post hunc •VIII- intermisso senario, post hunc -XII- transmisso denario, atque hoc idem in ceteris. Quincupli vero propositio se- lo cundum triplicis similitudinem alternatim paribus atque inparibus positis ordinalur.

De superpariicuiari eiusque speciehus earumque

generaiionihus,

XXmi. Superparticularis vero est numerus ad alte- is rum comparatus^ quotiens habet in se totum minorem et eius aliqiiam partem; qui si minoris habeat medie- tatem, vocatur sesqualter, si vero tertiam partem, voca- tur sesquitertius , si vero quartam, sesquiquartus, et si quintam, vocatur sesquiquintus; atque his nominibus in 20 infinitum ductis in infinitum quoque superparticularium forma progreditur. Et maiores quidem numeri hoc modo vocantur, minores vero, qui habentur toti et eorum ali- qua pars, unus subsesqualter, alter subsesquitertius, alius, subsesquiquartus, alius vero subsesquiquintus, atque idem 25 secundum roaiorum normam multitudinemque protendi- tur. Voco autem maiores numeros duces, minores co-

1 intermittat, a in i muiatOy a. [| dno f. || tres f. 3 du- pllces f. II consequentias f. || primum numerum et supra

versum pariom nnmeromm r. 6 custodiunturque in constituun- turqne mutatum c. 7 prioribus et supra p e et supra e su d. || in ordinem s; ordine d, in ordinem et supra in 1 per r. 8 pari nnmero a, b. 9 trasmisso r, intermisso c. 10 quin- quipli r, quinquupli c, s. 12 ordinantur r, s. 13 Titu- lus legitur in margine in d : De superparticulari et rel. r. Sequeniia auiem verha secunda manu addita sunt. \\ eorumque s, et eamm f. 16 XXV. 1. 16 quoties a. 19 sive quar- tam a. 25 vero om, c. 26 maiorem a, b, f, r, s.

Boetius. 4

50 INST. ABITHM. I, 24.

mites. Superparticularium quoque infinita est multitudo
ob eam rem, quod eiusdem species interminabili progres-
sione funguntur. Namque sesqualter habebit quidem du-
ces omnes post ternarium numerum naturaUter triplices»

5 comites vero omnes post binarium numerum naturaliter
pares, hoc modo ut primus primo, secundus secundo,
tertius tertio comparetur et deinceps. Describantur enim

"Mongissimi versus triplicium naturalis numeri atque dapli- cium et sit hoc modo :

10 1. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X. III. VI. VIIII. XII. XV. XVIII. XXI. XXIIII. XXVII. XXX. II. IIII. VI. VIII. X. XII. XIIiLXVI. XVIII. XX.

Primus igitur versus continet numerum naturalem, secundus eius triplicem, tertius vero dupiicem. Atque in

15 eo si ternarius binario, vei si senarius quaternario, vel novenarius senario comparetur^ vel omnes triplices supe- riores si duplicibus numeris consequentibus opponantur, hemiolia id est sesqualtera proportio nascetur. •III- enim babent intra se -11* et eorum mediam partem, id est

20 unum. Sex quoque continent intra se -1111- et eorum
medietatem, id est •II- Et •VIIII- intra se senarium clau-
dunt et eius mediam partem, id estr-III'; eodemque modo
in ceteris.

Dicendum vero est, si quis secundam speciem super-

25 particularis numeri considerare desideret, id est sesqui-

lertiam, quali ratione repperiet. Ac definitio quidem

huius comparationis talis est. Sesquilertius est, qui urii-

nori comparatus habet eum semel et eius tertiam partem.

3 Nam f. J quidem habebit f. 10—12 Vmi. X.

XXVII. XXX. XVIII. XX. om, a et d; sed in d iidem versus
in margine inferiore leguniur,' una cum numeris in contextu omis-
sis, 17 apponantur b, 1, r. 18 emiholia a, hemiholia
b, Hethimologia c. || nascitnr 1. || tres f. 19 duo f.

20 — 21 nnam . . . id est om. c. 20 -L b. fl continet c, con- tinet, mutaium in continent a. || inter c, inter mutatum in intra a. " 21 duo f. || 'VL b. 22 mediam partem] me- dietatem 1. 24 est om, d, f. 27 est om. c, d.

Inst. Arithm. I, 24. 51

Sed hi inyeniuntar, si omnibus a quaternario nuniero continuatim quadruplis constitutis a ternario numero tri- plices comparentur, eruntqne duces quadrupli, comites tripli. Sit enim in ordine hoc modo numerus naturalis,^ ut sub eo quadruph' et tripii subponantur, sub primo qua- 5 druplo primus triplus, sub secundo secundus, sub tertio tertius, et eodem modo cuncti eiusdem primi versus tripli in ordinem digerantur.

I. u. m. nn. v. vi. vii. viii. viiii. x.

mi. vm. XII. XVI. xx. xxiiii. xxviii. xxxii. xxxvi. xl. ^o

ni. VI. viii. XII. XV. xviii. XXI. xxiiii. xxvii. xxx.

Igitur primum primp si compares, sesquitertia ratio coQtinebitur. Nam si •Ifll* tribus compares habebunt in se •IIII* totum ternarium et eius tertiam partem, id est -I- £t si secundum secundo id est octonarium senario compa- 15 res, ideni invenies. Habebit enim octonarius senarium totum et eius tertiam partem , id est -II- Et per eandem sequentiam usque in infinitum progrediendum est. Notan- dum quoque est, quod •III* comites sunt^ duces •illls rursus -VL comites, duces -VIIL, et in eodem ordine 20 ceteri simili modo vocantur duces sesquitertii comites sub- sesquitertii. £t in cunctis secundum hunc modum posita convenit servare vocabula.

5 ut 8ub eo quadrupli et tripli sint. Ponatur a; ut sub eo quadrupli et tripli sint. Subponatur et supra versum: In a^. ut sub eo quadrupli et tripli supponantur, et in margine: et etiam in al. ut sub eo quadrupli et snb eo tripli sint. b; ut sub eo quadrupli et sub eo tripli sint. Supponatur c, 1, 8, sed 1 in margine superiore, neque ut sub eo, sed et sub eo; ut sub eo tripli et quadrupli subponantur f, r. || sub primo quidem f. 8 dirigantur a, s. 9 — 11 VIII. VIIII. X. XXXn. XXXVI. XL. XXIIII. XXVII. XXX. 07». a, d; sed in d omnes mtmeri ab uno ad -X' eorumque quadrupli H triplt in margine inferiore leguntur. 12 sesquitertii a, d, r. 13 quattuor d, quatuor f. 14 quattuor d, qua-

tnor f. 15 octonario senarium a, b, r; octonario sena- rios c; octonario secundum s. 19 tres a, b, d, 1, r, s.

52 INST. ABITHM. I, 26. 26.

De quodam utili ad cognitionem superparticularibus

accidente.

XXV. Hoc autem admirabile profundissimumque in istorum ordinibus invenitur, quod primus dux primusque

5 comes ad se invicem nuUa numeri intermissione copulan- tur. Nam primi se nuUo in medio posito transeunt, se- cundi interponunt unum, tertii duos, quarti tres etTdein- ceps uno semper minore, quam ipsi sunt, intermissione succrescunt.^atque hoc vel in sesqualteris vel in sesqui-

10 tertiis vel . in aliis superparticularis partibus necesse est inveniri. Namque ut quaternarius contra ternarium com- paretur, nullum intermisimus; post -ni- enim mox •nil- sunt; tit vero -VI- contra •VIII- , in secundo scilicet se§- quitertio, una facta est intermissio. Inter -VI- enim et

15 .VIQ- solus est septenarius, qui transmissus est jiumerus.

Rursus ut -VIIII- contra -XII- comparemus, qui sunt in

dispositione tertii duorum mediorum est facta transmissio.

Inter -VIIH- enim et XII- sunt -X- et -Xi- Secundum hunc

^ modum quarta dispositio -III- , quinta -UII- intermittit.

20 Descriptio^ per quam doceiur ceteris inaequalitatis specie- hus antiquiorem esse multiplicitatem,

XXVI. Quoniam autem naturaliter et secundum pro-
priam ordinis consequentiam multiplicem inaequalitatis |
speciem cunctis praeposuimus primamque speciem esse

25 monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat, hic quoque perstringentes id, quod proposui-

1 Inscript. in margine d, om, c. \\ co^ationein b, 1, r, s. II superparticularis s. 2 accidente seeunda manu ad- ditum in s. 3 •XXVI- 1. 6 sine ullo a, c, r, s; se sine uUo f. 7 •!• c. II duo f. (j •III- c, f. 8 una a, b, c, f, 1, r, 8. 11 invenire, e rasura paene deleto f. || -IIH- b.J| . III- b. 12 tres d. 13 At vero a, c, r, s. || Post VL addit comparentur s. 19 quattuor a, b, 1, r, s. 20 /n~ script. om, c, in margine d. doceatur f. 22 • XXVII - 1. 25 ordine operis f.

Isst. Arithm. I, 27. 53

mus, planissime breviterque doceamus. Sit enim taiis
descriptjo , in qua ponatur in ordinem usque ad denmum
numerum continui numeri ordo naturalis et secundo yersu
duplus ordo texatur, tertio triplus» quarto qua^uplus et
hoc usque ad decuplum. Sic enim cognoscemus^ quem- 5
admodum superparticulari et superpartienli et cunctis
aliis princeps erit species muitipiicis et quaedam alia
simul inspiciemus et ad subtilitatem tenuissima et ad
scientiam utilissima et ad exercitationem iucundissima.