v,n«/
ii. u. III. ijii. V. VI. VII. viu. vim. X. !i lui. VI. VIII. X. xu. xiin. XVI. xvin. xx.
|IU. VI. VHII. Xn. XV. XVIII. XXI. XXIV. XXVII. XXX.
mi. vui. xn. xvu., xx. xxim. xxviu. xxxii. xxxvi. xl.
V. X. XV. XX. XXV. XXX. XXXV. XL. XLV. L.
VI. xu. xvm. xxiui. XXX. xxxvi. xul xlvul Lmi. lx. r ni. xim. XXI. xxvui. xxxv. xlu. xlviiii. lvi. lxiu. lxx. <^ VIII. XVI. xxmi. xxxu. xl. xlviil lvi. lxiiu. lxxii. lxxx. m\. xvm. xxvii. xxxvi. xlv. liiii. lxiii. lxxii. lxxxi. xc.
X. XX. XXX. XL. L. LX. LXX. LXXX. XC C.
Long>itudo. 21
Ratio atque exposiiio digestae formulae,
XXVII. Si igitur duo prima iatera propositae formu- lae, quae faciuiU^ngulum ab uno ad -X- et -X* proceden- tia , respiciantur et bis subteriores ordines comparentur, 25 qui sciiicet a •IIII- angulum incipientes in vicenos termi- num ponunt, duplex, id est prima species multiplicitatis ostenditur ita, ut primus primum sola superet unitate, ut
8 tenuissimam . . . atilissimam» uliimis liiieris m indu' ctis a* 9 iocundissima a, b, 1, r, s. 10 — 21 7n eodici- bus adscripia sunt ad •!• : Prima unitas tetragona ; ad utrum- que •X* Secunda unitas ; ad c. Tertia unitas tetragona ; mi- meri quadrati diagonalis lineae insiar positi variis signis, ut \ vel X, inter se iuncii sunt; quae a Boeiio profecia esse equi- dem negaverim» 22 Titulum om. a, b, c, 1; is in dfigurae
supra descriptae subscriptus est, 23 -XXVI- d, •XXVni- 1.
or
24 decem «t decem f. 25 respiciuntur c. 26 •IIII- f. 28 uni- tate superet s.
INST. ABITHM. I, 27.
duo unum, secundus secundum binario supemdat, ut qua- ternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ter- narium, quartus quartum quaternarii numerositate transcen- dat, ut •VIII- quaternarium, et per eandem cuncti sequen- 5 iiam sese minons pluralitate praetereant. Si vero tertius angulus aspiciatur, qui ab •VIHI* inchoans longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, tri- plex species muitiplicitatis occurrit ita, ut ista comparatio
10 per -X* litteram fiat, hique se numeri superabunt secun-
* ^Tu^dum paritatis factam naturaliter connexiopem. Primus
enim primum duobus superat, ut unum tres; secundus
secundum quaternario, >ut binarium senarius'; tertius ter-
tium sex, ut ternarium novenariusv et ad eundem ceteri
15 modum progressionis augescunt. Quam rem nobis sci-
licet et ipsa naturalis obiecit integritas, nihii nobis extra
machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet.
Si quis autem quarti anguli terminum , qui 'XVL numeri
quantitate notatus est^et longitudinem latitudinemque in
^ quadragenos determinat, velil superioribus comparare, per
•X* litterae formam proportione conlata , quadrupli mul-
titudinem pernotabit, hisque est ordinabilis super se
1 •II- c, l. 1] L b, 1, s; II II- ad unum d. || secundum
'secundus r. 4 octonarius f. 6 novem a, d, 1, r, s. 7 et
si hic f. 10 hi quae, correctum in hique se a. II Pri-
mus] In f. addita est haec figura:
12 I. in- b, unum in- c, d, f. 14 VI- b, c, f. ^ 16 ob-
icit f, s. 17 modolo a, b. 18 sedecim a, d^ 1, r, s.
19 natus a. 22 his quae correctum in his que a.
Inst. Arithm. I, 27. 55
progressio, ut primus primuin tribus superet, ut •IIII- unitatem, secundus secundum senario vincat, ut •VIII* binarium, tertius tertium noTenario transeat, ut duode- narius ternarium, et sequentes summulae trium se sem- per adiocta quantitate transsiliant. Et si quis subteriores 5 aspiciat angulos, idem per omnes multiplicilatis species usque ad decupium dispositissima ordinatione perveniet. Si quis yero in hac descriptione superparticuiaris species requirat, tali modo repperiet. Si enim secundum angu- lum notet, cuius est initium quaternarius, eique superiacet lo biaarius, atque ad hunc sequentem quis accommodet or-_ dinem, sesqnaltera proportio declarabitur. Nam tertius secundi versus sesqualter est, ut •III* ad -11*, vel -VI* ad lUI*, vel •VIIII. ad VI. vel XIl. ad VIII. itemque in ce- teris, qui sunt in eadem serie numeri, si talis coniugatio i5 misceatur, nuUa varietatis dissimilitudo subripiet. Eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque, quae in duplicibus fuit. Primus enim primum , id est ternarius) binarium, uno superat, secundus vero secundum duobus, -t lertius tertium tribus et deinceps. Si vero quartus ordo 20 lertio comparetur» ut •1111- ad «in. et eodem ceteros or- dlne consecteris, sesquitertia comparatio colligetur, ut •lUI. ad III. vel VUI. ad VI. et .XII- ad VIIII. Videsne ut in omnibus his sesquitertia comparatio conservetur? Praeterea eos, qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequen- 25 tes versus alterutris comparaveris, omnes sine ullo inpe- dimento species superparlicularis agnosces.
Hoc autem in hac est dispositione divinum, quod
1 qaataor f. 2 octonarius f. 4 se om. c, r. 6 mul- tiplicatas eorrectum in multiplicitatis a; multiplicatas , s ex' puncto el tis superscrtpio r. 8 superparticulares b, d, 1; saperparticularitatis s. || species om, d. 10 ei quae cor- rectum in ei que a. 11 ad om. a. 13 duos a, b, 1, r, s; duo f. 14 novem c. [| itemque] Scribendum videtur: idem- que. 17 progressio c, r. 20 •1111-*«« f. 21 tertio sw
pra versum a. 22 coUigitur a, b, c, d, 1, r, s. 24 con-
servatar s, servetur b, 1. 25 subsequentes f. 28 est in
liac f.
56 INST» ARITHM. I, 27.
omnes angulares numeri tetragoni sunt. Tetragonus au>
tem dicilur, ut brevissime dicam, quod post latiiis ex-
plicabitur, quem duo aequales numeri multipltcant, ut i»
hac quoque descriptione est. ^Hms enim setioel unus est,
5 et est potestate tetragonus. Item bts duo •lifl- sunt, ter
tres •VIIIL, quos in semet ipsos multiplicationes primi
ordinis perfecerunt.^ Circum ipsos Tero qui sunt, id est
circum angulares, longilateri numeri sunt. Longilateros
autem vojpo, quos uno se supergredientes numeri multi-
10 plicant. ^ Circum •IIII- enim -IL sunt et -VI- Sed duo nascuntur ex uno et duobus , cum unum bis mnltiplicave- ris; sed unitas a binario unitate praeceditur; •VI* vero ex duobus et tribus; bis enim tres senarium reddunt. No- venarium vero «VI- et «XII- claudunt qui •XII* ex tribus
15 nascuntur et •IIIl- ter enim •IIII- fiunt -XII- , senarius vero ex duobus et tribus , bis enim tres faciunt -VI* qui omnes uno maioribus lateribus procreati sunt.^ Nam cum •VI- ex binario ternarioque nascantur, tres binarium nume- rum uno superant, cunctique alii eiusdem modi sunt, ut
20 primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis ter- minis procreentur, ita ut quod nascitur ex duobus longilate* ris altrinsecus positis et bis medio tetragono tetragonus sit ; et rursus, quod ex duobus altrinsecus tetragonis et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetra-
25 gonus sit ; et ut angulorum totius descriptionis ad angu- lares teiragonos positorum unius anguli sit prima unitas, alterius vero, qui contra est, tertia, bini vero altrinsecus anguli secundas habeant unitates; et duo angularium tetragonorum anguli aequum faciunt, quod sub ipsis con-
30 tinetur, illi, quod fit ab uno illorum, qui est altrinsecus^
5 •11' c. 6 •III- c, 8 Longiores correclum in Longi- lateros a; longilateres o super e scripto r. 10 quatuor f. |! dno sunt c, sunt duo f. 11 et duobus om, f. 18 •III- c. 16 — 16 senarius vero . . . faciunt «VL in d lineolis obliquis oblita sunt, 15 senarium d. 16 III- c. || •VI- faciunt 1. 18 nascuntur a, c, d, f, r. || III- s. 21 procreantur f, b. \\ nascetur c, r, s. 27 contra] cc c. 28 habent a, r, s. 29 faciant a, c.
INST. ARITHM. I, 28.
angulorum. Multa etiam sunt alia quae in hac descri-
pt^ione uUlia possint admirabiliaque perpendi, quae in-
terim propter castigatam introducendi brevitatem iguota
esse permittimus. Nunc vero ad sequentia propositum
coQYertainus. • 5
De tertia inaequalitaiis specie , quae diciiur superpariiens deque eius speciebus earumque generationibus,
XXVIII. Igitur post duas primas habitudines muItP piices et superparticulares et eas» quae sub ipsis sunt, submuitiplices et subsuperparticulares tertia inaequaiitatis 10 -/^(.'[^ species invenitur, quae a nobis superius superpartiens^ o''
(licta est. Haec autem est, quae fit» cum numerus ad alium comparatus habet eum totum intra se et eius insuper ali- quas partes, vei duas vei tres vel IIII' vel quotquot ipsa tulerit comparatio ; quae habitudo incipit a duabus parti- 15 bus tertiis ; nam si duas medietates habuerit, qui illum in- tra se totum coercet, duplus pro superpartiente componi-
1 an^loruip] In f. addita est /laec figura:
Prima unitas tetrag^oni
So
A a
a p
w w
co
es
XcY
Iu
loJtBJ^a; 8S)iun m\jQ
6 Insaripi. om, c, in margine d. 7 et de f. || speciebus
eias r, 8. || speciebus om. b, 1. [I et earum generatione r, s. 8 XXVin om. r; XCIIII d. 9 et ea d. 12 Hfl.ec est
antem c, s. Haec autem quae fit, vocahulo] quae ohlito , a. 13 infra a, c; intra et supra versnm infra b; in r. 14 11- vel -III- c [1 quattnor d. || quot a, d, f, r, s. 15 duobus r. 16 Post hahuerit addunt numerus f, s. 1| illum] Fortasse alium eit scribendum, || infra a, b, c, f, 1, r, s. 17 choercet d, co- hercet f, 1, s.
58 INST. ARITHM. I, 28.
tur. Habebit autem vel duas quintas vel duas sepiimas vei
duas nonas et ita progredientibus, si duas solas partes
minoris numeri superhabuerit per easdem partes inpari-
bus numeris minorem maior summa transcendit. Nam si
5 eum habeat totum et duas eius quartas, superparticularls necessario repperitur, nam duae quartae medietas est et fit sesqualtera comparatio; sin vero duassextas, rursus est superparticularis, duae enim sextae pars tertia est, quodsi in comparatione ponatur, sesquitertiae habitudinis efficiet
10 formam.
Post hos nascuntur comites, qui subsuperpartientes
vocantur. Hi autem sunt, qui habentur ab alio numero,
et eorum vel duae vel tres vel •HU' vel quotlibet aliae
partes. Si ergo numerus alium intra se numerum habens
i5eius duas partes habueril, superbipartiens nominatur, sin vero tres, supertripartiens, quodsi JHI*, superquadri- ])artiens, atque ita progredientibus in infinitum fingere nomina Hcet. Ordo autem eorum naturalis est, quotiens disponuntur a tribus omnes pares atque inpares numeri
20 naturaliter constituti et sub his aptantur alii, qui sunt a quinario numero incipientes omnes inpares. His igitur ita dispositis si primus primo, secundus secundo, tertius ter- tio et ceteri ceteris comparentur, superpartiens habitudo procreatur. Sit enim dispositio hoc modo:
25 HI. HH. V. VI. Vn. VIH. VHH. X.
V. VH. VIHI. XI. XIH. XV. XVH. XVHII.
1 Habet a, c, r, s. || aatem] eniin r, s. || .autem vel om. c. 2 paries solas c, r, s. 3 in partibnsnameri
mutatum in inparibus nameris a; imparis numeri in lUura s. 5 habeat eum f. 7 si vero a, c, r, s. || IL a, 1, r. 11 Post hos duces s. |{ nascantur, a in u mutato a. || superpartien- tes, omisso sub, c. 13 -n- a, 1, r, s. || '111- a, c, f, 1, r, s. II quatuor b , d. || quaelibet f. 14 alium om, c. 15 su-
perbipertiens kic et infra^ ubi idem vel simile vocabtdum legi- iur c. 16 si vero c, r, s. || -in- c, d. || quattuor d. 21 in- cipientes om. a. 23 superpartientis a, c. 24 Fit s. 25 et 26 In d duo hi versus in margine inferiore leguntur sed additis •XI- -XIL et -XXI* XXni* Tertius versus continet -VI- eius-
que duplos usque ad •IIILXXII-, quartus versus 'X* eiusque du-
In8t. Arithm. I, 28. 59
Si igitur quinarii numeri ad ternarium comparatio consi- deretur, erit superpartiens ille, qui vocatur superbipar- tiens; habet enim quinarius totos in se tres et eorum duas partes id est duo. Si yero ad secundum ordinem specu- lalio referatur, supertripartiens proportio cognoscetur at- 5 que ita in sequentibus per omnes dispositos numeros omnes in infiuitum species huius numeri convenientes or- dlDatasque respicies.
At vero quemadmodum singuli procreentur si in infi- nitum quis curet agnoscere, hic modus est. Hahitudo lo eoim superbipartientis, si utrisque terminis duplicetur» semper superbipartiens proportio procreatur. Si enim quis dupiicet •¥• , faciet -X-', si •III- , faciet •VI- , qui -X* contra senarium comparati superbipartientem faciunt habi- tudinem. £t hos ipsos rursus si duplicaveris, idem ordo is proportionis adcrescit, idemque si infinitum facias, sta- tum prioris habitudinis non mutabit. 'Si vero supertri- partientes invenire contendas, primos supertripariientes, id est -VII- et -IIII- triplicabis et huiusmodi nascentur. Si vero, qui ex his nati fuerint, ternadi multiplicatione 20 produxeris, idem rursus efficient. Quodsi superquadri- partientes quemadmodum in infinitum progrediantur, ap- petas addiscere, primas eorum radices in quadrupium mul- tiplices licet, id est -VIIH- et -V* et eos, qui illa multipli- catione proferentur, rursus in quadruplum, et eandem 25 fieri proportionem inoffensa nimirum ratione repperies; I €t ceterae species una semper plus multiplicatione crescen-
ph8 usque ad iraCXX. [DCXX]. 3 -m. c. 4 n- c.
6 ita om, c, supra versum a. 7 omnes om. a, c, f. 8 re- I spicias s. 9 procreantnr a, c. 12 bipartiens omisso su- I per a, b. [| proportio om. c, r || procreatur] est c, r. 13.