V- quis duplicet c, r, s. |] quinque f. || tres c, f. [J sex c. decem d. 18 contendis f. 21 efficient] In d in mar-
gine inferiore leguntur «1111. eiusque tripli usque ad .CCCVI'
[CCCXXini] , et sub his numeris • VII • eiusque iripli usque ad i DLXVTI. 22 appetas] optes a, b, d, f, 1. 23 ediscere r.
25 rursom a, c, f, s. 26 repperiesj In d leguntur in mar-
gine inferiore -Y' eiusque quadrupU usque ad «ICCLXXX. et sub his •VIIII- eiusque quadrupli usque ad II CCC IIII,
60 INST. ARITHM. I, 29.
tibus radicibuB oriuntur. Radices autem proportionum
Toco numeros in superiore dispositione descriptos, quasi
quibus omnis summa supradictae comparationis innititur.
Hoc quoque videndum est, quoniam, cum duae partes
5 ex minore plus in maioribus sunt, tertii semper vocabu- lum subauditur, ut superbipartiens qui dicitur, quoniam duas minoris numeri tertias partes habet, dicatur superbi- partiens tertias ; et cum dico supertripartiens, subaudiri necesse sit supertripartiens quartas , quoniam tribus su-
10 per quartis exuberat; et superquadripartienti subaudi-
tur superquadripartiens quintas, et ad eundem modum
in ceteris uno semper adiecto super habitas partes sub-
auditio facienda est, ut eorum germana convenientiaque
his nomina haec sint: qui dicitur superbipartiens, idem
15 dicatur superbitertius; qui dicitur supertripartiens, is sit supertriquartus, et qui dicitur superquadripartiens, idem dicatur superquadriquintus, eademque simiiitudine usque in infinitum nomina producantur.
De multiplici superpariiculari,
20 XXyilll. Igitur relatae ad aiiquid quantitatis simplices et primae species hae sunt. Duae vero aliae ex his veliit ex aiiquibus principiis componuntur, ut multiplices super- particularesetmultiplices superpartientes, liorumquecomi- tes submultiplices superparticulares et submultiplices su-
25 perpartientes. Namque in his ut in praedictis proportionibus minores numeri omnes addita sub praepositione dicuntur,
2 numeros voco f. || quos correctum in qnasi a. 3 inmittitur correcium in innititur a. 4 In hoc a, s; Hoc et supraversum: In ai: in hoc b. |] est supra versum rec, manu r. 8 etj sed 1; sed ei supra versum &l et b. || subaudire necesse est f. 9 ut quoniam a, et d; sed in d ut est inductum* 10 super quartas, et supra ver- sum: in a) superquartas b. [[ exuperats. 11. superquadripar-
tiens] super om. c. 12 superhabitis a. 14 ut qui f , 1 ; ut sw pra versum adscriptum est in a, b, d, r, s. || superbipartiensl su; cum litura c. 19 Titulum om, c. 20 XXvIIII om. r. |] re lictae corr, in relatae a |) ad om. c. 26 Posi numeri ad' dunt et eorum species f, r; et eorum quoque species s; v
-^mmm
Inst, Arithm. I, 29. 61
quorum definitio talis reddi potest.^Muttiplex superparticu- laris esi, quotiens numerus ad numerum comparatus babet eum plus quam semel et eius unam partem/hoc est babet eum aut duplum aut tripium aut quadruplum aut quotiens- libet et eius quamlibet aliquam partem vel mediam vel 5 terUam vel quartam vel » quaecunque alia partium exube- ratione contigeriL 'Hic ergo ex multipiici et superparti- culari consistit. ^uod enim comparatum numerum pius quam semel habet, multiplicis est, hoc vero, quod mino- rem in habenda parte transcendit, superparticularis? Ita- lo que ex utroque nomine ficto vocabulo est speciesque eius ad illarum scilicet fiunt imaginem proportionum, ex qui- bus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars huius Tocabuli» quae multiplicis nomine possessa est, multipli- cis Dunieri specierum vocabulo nominanda est, quae vero ^ superparticularis est, eodem vocabulo nuncupabitur, quo superparticuiaris numeri species vocabantur. Dicetur enim, qui duplicem habuerit alium numerum et eius me- diam partem, duplex sesqualter, qui vero tertiam, du- plex sesquitertius, qui quartam, duplex sesquiquartus 20 et deinceps. Si vero ter eum totum contineat et eius mediam partem vel tertiam vel quartam, dicetur tri- plex sesqualter, triplex sesquitertius, triplex sesquiquar- tus et eodem modo in ceteris; diceturque quadruplus sesqualter, quadruplus sesquitertius, quadruplus sesqui- ^^ qaartus ; et quotiens totum numerum in semet ipso con- linuerit per multiplicis numeri species appellabitur, quam vero partem comparati numeri clauserit, secundum super- particularem comparationem habitudinemque vocabitur. Horum autem exempla huiusmodi sunt. Duplex ses- ^
maTgine Jiabei et eorum qnoque species a, et eorum qnoqae omnes spedes 1: supra versum hahent et eornm quoque spe- cieg b, d. 7 contingerit a, c. 9 minorem numerum f. 10 ha- bendo f. 11 fictum Yocabulum f, s. 12 illius a. 17 species numeri f. 22 dicitur c, r, s; dicitur corr, in dicetur a.
24 et om. f. 24 — 26 et eodem . • . sesquiquartus in margine iuperiare r. 26 quoties a, 1. 27 appellatur b, c, d, f, 1, r, <i; appellatur eorr, in appellabitur a. 28 conparati numeri par- tem f. [| clauserit numeri 1. 1| conparati, o sec, manu adseripto b.
62 INST. ARITHM. I, 29.
r qualter est, ut •¥• ad duo. Habent enim •¥• binarium
numerum bis et eius mediam partem, id esl •L^ Duplex
vero sesquitertius est septenarius ad ternarium compara-
tus. At vero noTenarius ad quaternarium duplex sesqui-
5quartus; si vero -XI^ ad •¥*, duplex sesquiquintus ; etbi
semper nascentur dispositis in ordinem a binario numera
omnibus naturaiiter paribus inparibusque terminis, si,
contra eas omnes a quinario numero inpares comparentur,
ut primum primo, secundum secundo, tertium tertio caute
10 et diligenter adponas, ut sit dispositio talis:
II. III. iiii. V. VI. VII. vin. viui. X. XI. V. vii. viiii. XI. XIII. XV. XVII. xvmi. xxi. xxin.
Si vero a duobus paribus omnibus dispositis terminis illi, qui a quinario numero inchoantes quinario numero rur- 15 sus sese transsiliunt, comparentur, omnes duplices ses- qualteros creant,^ut est subiecta descriptio,
II. lUI. VI. VUI. X. XU. V. X. XV. XX. XXV. XXX. ^
Si vero a tribus inchoent dispositiones et tribus sese trans- 20 siliant, et ad eos aptentur, qui a septenario inchoantes septenario sese numero transgrediuntur, omnes duplices sesquitertii habita diligenter comparatione nascuntur, ut subiecta descriptio monet.
1 habet d. || enim rec. manu supra versum d. 2 bis in se d. 11 partem om, a, b, c, d, 1, r, s. || unum f. 3 vero om,
a. II •VII' ad •III- b. 5 dnplus a. 6 nascuntur a. 8 nu-j mero om, a. 10 Post adponas addit pares inparesque a. 11 Hunc versum praecedit in f titulus: Duplex sesqualter. 11 et 12 Numeri a 'II- et -V- usque ad «VI- et •XIII- in d in margine superiore rubro colore additi sunt, 14 numero onu
b, 1. 17 Bunc versum praecedit in f titulus: Duplex sesqual^ ter. 17 et 18 Numeri a .II- et -V- usque ad 'X- et -XXV- in d in margine sinistro rubro colore, additisunt, 19 incho- ant c; incohan corr. in incoheant a. 20 inchoantes septe- nario, omisso a, s. || incohantes a. || inchoantes septenario in margine r. 21 numero sese f. 22 habita diligentei conparatione supra versum d.
Inst. Abithm. I, 29. '63
III. VI. VIIII. XII. XV. XVIII. XXI. VII. XIIII. XXI. XXVIII. XXXV. XLII. XLVIIII.
Sin vero omnes in ordinem quadrupli disponantur, hi
qui naturalis numeri quadrupli sunt,'ut unitatis quadru-
plus, et duorum triumque et quattuor atque quinarii ets
celerorum sese sequentium,^et ad eos aptentur a novena-
rio numero inchoantes semper sese novenario praece-
(lentes, tunc duplicis sesquiquartae proportionis forma
texelur.
ini. VIII. XII. XVI. XX. xxiiii. 10
Vnil. XVIII. XXVIL XXXVI. xlv. liiii.
£a vero species huius numeri, quae est triplex sesqual-
tera, hoc modo procreatur, si disponantur a binario nu-
mero omnes in ordinem pares et ad eos a septenario nu-
Diero inchoantes septenario sese supergredientes solito i5
ad alterutrum compacationis modo aptentur.
II. un. VI. viiL
VII. XIIII. XXL XXVIII.
Si autem a ternario numero ingressi cunctos naturalis aumeri triplices disponamus et eis a denario numero de- 20 oario sese supergredientes ordine comparemus, omnes tripHces sesquitertii in ea terminorum continuatione pro-
venient.
1 Hunc versum praecedU in f tiiulus: Duplex sesquiter- titts. 1 et 2 NumeH a III- et -VII- usque ad -XV- et -XXXV- m d in margine dextro rubro colore additi sunt. 3 Si vero
a, b, c, r, 8. 6 •IIIL c. Fortasse legendum: quaternarii.
6 se s. 7 numero om» d , L || incohantes s. 8 tunc om. d. II propositionis f , 1. 10 ffunc versum praecedit in f titu- lus: Daplex sesquiquartns. 10 et 11. Duo hi versus exceptis nmeris •XXIIII- et •LIIII- in d in margine inferiore rubro co- lore sunt additi, 15 supergradientes a. 16 conparationis modo a. 17 et 18 luxta hos versus additus est in f titulus: Triplex sesqnaltera. 19 ingressi om, f. 20 ternario, ter Tosura paene deleto , f . 1 numero] supra versum inchoantes b. || olterum denario om, c. | denario sese numero a. 21 super- gradientes a. 1] ordinem f. 22 in eam terminorum continua- tionem f. |] proveniunt c , pervenient corr, in provenient a. \\
64 INST. ABITHM. I, 80.
III. VI. VIIII.
De eorum exemplis in superiori formula inveniendis,
XXX. Horum autem eorumque qui sequuntur exempla
5 iotegre planeque possumus pemotare, si in priorem de-
scriptionem/ quam fecimus, cum de superparticulari et
multiplici loqueremur, ubi ab uno usque in denariam
multiplicationem summa concrevit) diligens velimus acu-
men intendere. Ad primum enim versum omnes, qui
losequuntur, conlati ordinatas convenientesque multiplicis species reddent. Sin vero ad secundum cunctos, qui tertii sunt ordinis, aptaveris, ordinatas species superparticula- ris agnosces. Quod si terlio ordini, quicunque sunt in quinto versu,/\Compares superpartientis numeri species
15 positas convenienter aspicies. Multiplex vero superparti-
cularis ostenditur, cum ad secundum versum omnes, qui
sunt quinti versus serie comparantur, vel qui sunt in
/ septimo, vel qui sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descriptio, in inOnitum huius proportionis spe-
20 cies procreabuntur. Manifestum autem hoc etiam est,
quod horum comites semper cum sub praepositione di-
centur^^^ut est subduplex sesqualter, subduplex sesqui-
tertius, subdupiex sesquiquartus et ceteri quidem ad
hunc modum. '
Po8t proveniunt addU hoc modo c. 1 et 2 Numeros otn. a, b, d; s addU XnXV- 1 et f insuper XVm.XXI- In f adscrU
■Xl •L* -Lx «Lxx*
ptum est: Triplex sesquitertia. 3 Titulum om. f., in mar-
gine d [| superiore r, s. 4 -XXX- om, f , r. 6 de om, c. 8 diligenter f, diligentius s. 10 multipllces a, r, s. h
margine addita est in f inseriptio: Unde oriantur mnltiplices 11 reddunt corr, in reddent a. || 8i vero a, c, d, r, s t cunctos om. c. 15 positas convenienter supra versum d,
17 comparentur c. || in septimo ad secundum f. 18 in nonc
um
ad •II- f. II ita si om. r , s. ita supra versum a. 19 si sil
r, s. II in infinitumque c; in infinitum quoque s; quoque su pra versum r. 20 autem om. c, r, s. || hoc etiam] et hoc d 23 quidem om. d.
Inst. Arithm. I, 31. 65
De multiplici superpartiente.
XXXI. MuUiplex vero superpartiens est, quotiens nu-^^ merus ad numerum comparatus habet in se aiium nume- rum totum plus quam semel et eius vel duas vel tres vel quotlibet plures particulas secundum numeri superpar- 5 tientis figuram. la hoc quoque propter causam superius dictam non erunt duae medietates ^neque duae quartae neque duae sexlae, sed duae tertiae vel duae quintae vel duae septimae ad priorum similem consequentiam.^ Non est autem difiicile secundum priorum exempla positorum lo hos quoque et praeter nostra exempla numeros invenire. Vocabunturque hi secundum proprias partes duplex su- perbipartiens, vel dupiex supertripartiens, vel duplex superquadripartiens, et rursus triplex superbipartiens et triplex supertripartiens et triplex superquadripartiens et i5 similiter, ut -Vin- ad •III- comparati faciunt duplicem superbipartientem , et XVI- ad -VI- et omnes, quicunque ab VIII. incipientes octonario sese numero transgrediun- tur, comparati ad eos, qui a tribus inchoantes ternaria sese quantitate praetereunt. Nec erit difOcile alias eius 20 partes secundum praedictum modum diligentibus rep- penre. Hic quoque illud meminisse debemus, quod mino- res et comites non sine sub praepositione nominantur,
1 Titultis in margine legitur in d. |1 superpartienti d. 2 XXXI- om. r. [[ quoties a, s. 3 alterum numerum om. f , su- praversum d, punciis notatum b. 6 Post figuram addita suni in c: ut superbipartiens tertias vel super (litura) ipertiens quar- tas et reliq; [| hac corr, in hoc a. [| In hoc] supra versum numero s. 7 neque duae quartae om. d. 8 sed] si in
Utura a. 10 primorum f. 11 nona corr. in nostra a.
15 et triplex superquadripartiens om, d. 16 Post similiter addit f: sub usque in infinitum. 16 octo a, b, 1, s. In
^argine additi sunt in s hi numeri:
VIII. XVI. XXIIII. XXXII. III. VI., VIIII. XII.
n et .XVL] ut -XVI- f. 18 octo f. |1 sese om. c; se d, r. 19 a om. r. || ternarii f. 22 Hii corr. in Hic a. [j debe- Mmus 8; debuimu* muiatum in debebimus a. 23 sub prae- positione] subpressione f.
Boetios. 5
66 INST. ARITHM. I, 32.
ut sit subduplex superbipartiens, subduplex supertri- partiens.
Demonsiratio quemadmodum omnis inaequalHas ah aequa-
litate processerit.
5 XXXII. Restat autem nobis profundissimam quandam
tradere disciplinam, quae ad omnem naturae vim rerum-
que integritatem maxima ratione pertineat. Magnus quippe
in hac scientia fructus est, si quis non nesciat^ quod bo-
nitas definita et sub scientiam cadens animoque semper