10 imitabiiis et perceptibiiis prima natura est et suae sub- stantiae decore perpetua, infinitum vero malitiae dedecus est, nullis propriis principiis nixum, sed natura semper errans a boni definitione principii tamquam aliquo signo optimae figurae inpressa componitur et ex illo erroris
15 fluctu retinetur. Nam nimiam cupiditatem iraeque immo-
dicam effrenationem quasi quidam rector animus pura in-
tellegentia roboratus adstringit, et has quodammodo in-
aequalitatis formas temperata bonitate constituit. Hoc
autem efit perspicuum, si intellegamus, omnes inaequa-
20 litatis species ab aequalitatis cre\isse primordiis , ut ipsa quodammodo aequalitas matris et radicis obtinens vim ipsa omnes inaequalitatis species ordinesque profundat. Sint enim nobis tres aequales termini, id est tres unita- tes, vel ter bini vel ter terni vel ter quaterni vel quantos
25 ultra libet ponere. Quod enim in unis tribus terminis
2 Post supertripartiens addit f : Et rursus subduplex su- pertripartiens , subduplex superquadripartiens. 3 Titulus in margine legitur in d. 5 -XXXII- om. f, 1, r. 7 mixta et supra versum l maxima s. 9 diffinita est a, b, c, 1, r. 11 in infinitum a, b, c, d, f. || dedecus malitiae a, b, 1. 12 est owi. d; esse f. 13 ab omni, m ohlito, a. {{ ab aliquo a; ab
rasura deletum esi in s. 14 obtimae a, 1. |{ impressa figu- rae r. {{ terroris, t oblito , a. 16 quasi] quos corr. in
quasi a. 17 astringit c , 1. 18 forma f. {{ temporata r.
21 aequitas a, b, c, d, 1, r, s; aequitas, al supra i scriptis, f. 23 III- r. 24 tres . . . tres . . , tres a , b , d, f , 1 ; III . . . III .. , III. r. 25 enim om. 1. (| in unis] minuitis a, inutis r.
Inst. Arithm. I, 32. 67
evenit, idem coDtiagit in ceteris/ £x his igitur secundum praecepti nostri ordinem videas primum nasci multiplices et in his duplices prius, dehinc triplos, inde quadruplos et ad eundem ordinem consequentes. Rursus multiplices ^'si convertantur^ ^x his"^ superparticulares orientur, et%x & > duplicibus^ quidem sesqualteri ^ex triplis^ sesquitertii, ^ex quadruplis' sesquiquarti et ceteri in hunc modum. TEx «^^'> ."*i superparticularibus vero conversis^ superpartientes nasci ''*'(-(- necesse est, ita ut^ex sesqualtero^nascatur superbipar- tiens, supertripartientem sesquitertius gignat et ex ses- lo quiquarto^superquadripartiens procreetur. Rectis auteri? positis neque conversis prioribus superparticularibus multipiices superparticulares oriuntur; rectis vero super- partientibus multiplices superpartientes efficiuntur. Prae;;;^ _ cepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo i5 facias parem, secundum vero primo et secundo, ter- tium primo, secundis duobus et tertio. Hoc igitur cum in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur, dupli- ces erunt, de quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur et de his quadruplices atque in infinitum 20 omnes formas numeri muitiplicis explicabit. laceant igi- ,;;, tur tres termini aequales. ' l, v .
I. I. I.
Ponatur itaque primo primus aequalis, id est unus, se-
cundus vero primo et secundo , id e«t -II- , tertius vero 25
primo, duobus secundis et tertio par sit, id est uni et
duobus unis et uni, quod sunt IIII- ut est descriptio.
1 contigit c, correct. in contingit a. 3 ex his f; in om. r. II tripli r. || deinde a, c, s. || quadrupli r. 6 triplicibus a, c, f, s; tribus 1. jj et ex quadruplis r. 7 Et corr, in
Ex a. 11 procreetur om. a, b, c, d, 1, r, s; ut duhium siiy uirum, qui codicem f eaoaravit, de suo, an ex meliore codice procreetur addiderit. 13 superpartientes c. || superpartien- tibus multiplices in margine rec, manu r. 14 multiplicis,
ullimo i in e mutaio, a. 17 primo et duobus secundis f;
primo, secundis duobus a, c, s. 21 multiplices a, d, f, r. | procreabit d. \\ Sint d. 24 id est .... vero primo om. d; rec, tamen manu addita sunt: id est I. 25 duo f. 26 et duobus f. 11 uno d. II et ante duobus om^ a , b , d. 27 unis om. s. || uno a, b, c, d, r, s. || ut haec est descriptio d; ut est de-
68 INST. ARITHM. I, 32.
I. 1. I.
I. II. IIII.
Videsne ut duplici proportione sequens ordo texatur? Fac rursus idem de duplicibus, ut sit primus primo 5 aequalis, id est uni, secundus primo et secundo, id est uni et duobus, qui sunt tres, lertius primo, id est uni, duobus secundis, id est IIII-, et tertio, id est •IIII-, qui simul -¥1111- fiunt, et venit haec formula.
mi.
Rursus si triplicibus idem feceris, continuus quadruplus
procreabitur. Sit enim primus primo aequus, id est unus,
sil secundus primo et secundo aequalis, id est lUh, sit
i5tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id
est XVI
I. I. I. I. II. IIII. L III. VIIII. 20 I. IIII. XVI.
Et in ceteris quidem ad hanc formam tribus his praeceptis utemur. Si vero qui ex aequalibus nati sunt multiplices, eos disponamus et «secundum haec praecepta vertamus, ita ut converso sint ordine, sesqualter ex duplici procrea-
scriptio hec f. 4 de supra versum a, r. || et sit c, d, 1, r. primo primus c. 6 uno d. [| III- c. 7 et duobus f. |1 id est •IIII- 07«. c, 1, r, s; supra versum d. || id est sec. manu ad- ditum f. II quatuor d. 8 fiunt] sunt r. || forma a, s;
in hanc formam et supra: et venit haec formula d. 9 — 11
Formulam om, 1, 12 in triplicibus d, f; de triplicibus, de ex corr. addito, r. 13 id est unus supra versum d. 14 sit om. d. II aequalis/ id est -1111- supra versum d. [| sit oin. d. 15 et duobus f. |[ aequalis, id est -XVI- supra versum d. 21 his om. d. 22 utamus praeceptis s; || utamur c. [] qtiis dicat corr. in qui, vocabulo dicat inducto, sl, [| ex supra ver- sum a, s. II qualibus c. 24 ita est, vocabulo est inducto a, rasura deleto s.
Inst. Arithm. I, 32. 69
bitur, sesquitertius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo^ Sint enim •III- duplices termini, qui ex aequalibus creatP sunt, et qui uitimus est, primus ponatur hoc modo:
ini. iL L >
£t constitualur primo in lioc ordine primus par, id est5
•IIII-, secundus vero primo et secundo par, id est VL,
tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est •VIIII-
fflL IL L im. VI. VIIII.
Ecce tibi illa sesqualtera quantitas ex termino duplicitatis lo
exoritur. Videamus nunc ad eundem modum , ex triplici
qui nascatur. Disponantur enim triplices superiores
VIIIL III. I.
Converso scilicet ordine, sicut duplex, hic est quoque ordo dispositus. Ponalur ergo primus primo aequus, id i5 est •VIIII-, secundus primo et secundo, id est -XIL, ter- tius primo, duobus secundis et tertio aequus, id est •XVI-
VIIII. III. L VIIII. XIL XVI.
Rursus secunda species superparticularis numeri, id est 20 sesquitertius procrealus est. Quod si idem de quadruplo quis facere velit, sesquiquartus continuo nascetur, ut sub- iecla monstrat descriptio.
XVL IIII. I.
Xvi. Xx. Xxv. 25
1 triplo d. 2 tres b, f. 5 constituautur a, c, s, £^ r, sed n rasura deleto, || constituaturque d. || primo om, a, b, d. |[ primus primo a et s, sed primo rasura deleto; primo supra primus d. 6 quatuor d. || par om, d. lOilla om, c. || sesqualtera illa r. U ad enndem .... nascatur] quemadmodum ex triplici nu- mero ad eundem modum numeri nascantur d. || ez triplici om. 1. 12 nascitur b, 1; nascantur s. || enim] itaque d.
15 primo primus c. 17 aequus supra versum d, r. 21 ses- quitertii procreati sunt a. 22 continua c. [) subiecta mon- strabit a; subiecta monstrat et supra versum: in slI. bit b; monstrabit subiecta s.
ro
70 INST. ARITHM. I, 32.
Ac si quis idem de cunctis in infinitum partibus muiiipli- citatis facial, convenienter ordinem superparticularitatis
\Jnveniet. Quod si conversos superparticulares aliquis se- cundum iiaec praecepta convertat, continuo videat super-
5 partientes adcrescere et ex sesqualtero quidem superbi-
partiens, ex sesquiterlio supertripartiens procreatur et
ceteri secundum communes denominationis species sine
ulla ordinis interpolatione nascentur. Disponantur igi-
^ur sic:
10 VIIII. VI. IIIl.
Superioris igitur descriptionis primo primus aequus nu-
merus adscribatur , id est -VIIII- secundus vero primo et
secundo, id est XV-, tertius vero primo, duobus secun-
dis el terlio, id est -XXV-
15 viiii. VI. im.
/wW VIIII. XV. XXV.
Si vero sesquitertium eodem modo verlamus , ordo super- tripartiens invenitur. Sit enim prima positio sesquitertii
XVI. XII. VIIII.
20 PonatUr secundum priorem modum primo primus par, id
est -XVI-, secundus primo et secundo, id est •XXVIII-,
tertius primo, duobus secundis et tertio, id est •XLVIIIL
Omnis ergo summa disposita supertripartientes efficiet.
XVI. XII. VIIII. t- ' XVI. XXVIII. XLVIIII.
Rursus si sesquiquartum eodem modo verteris, super-
1 si quidem a; quis idem et supra versum hoc b; quis hoc idem 1. |l multiplicatis b, c, f, l, r. 2 faciant, n ohtito, a ; faciet c. [| superparticularis a. 4 Post videat addit vel videbit a. 5 et om. s. 8 interpellatione f. |{ Dispona-
tur c. 11 numerus aequus a, b. 12 vero ow. d, f. 13 vero
om, d. 14 Post -XXV- addit: Et venit haec forma a; quae
verha in s rasura deleta sunt, 17 Si ergo a. 18 propo-
sitio a, d, f, r. 19 Nunc versum om. d. 20 Ponatur enim
-a, 1. 22 et duobus a, 8.
Inst. Arithm. I, 32. 71
quadripartiens statim quantitas procreabitur , ut est ea forma, quam subpositam vides.
XXV. XX. XVI. ^n/
XXV. XLV. LXXXI.
Restat, quemadmodum ex superparticularibus et super-si
partientibus multiplices superparticulares vel multiplices
superpartientes nascantur ostendere, quorum binas tan^
tum faciam descriptiones. Namque si rectum et non coii-
versum sesqualterum ponimus, duplex superparticularis
excrescit. Sit enim hoc modo : > ^
IIU. VL VIIII.
Ponatur secundum superiorem modum primo primus ae-
qualis, id est 1111-, secundus primo et secundo, id est
•X-, tertius primo, duobus secundis et terlio aequalis, id
estXXV. 15
iin. VI. viiii. ^;^,^) mi. X. XXV. ^
Atque haec quidem duplex sesqualtera summa pro^;^^
ducta est; si vero sesquitertium non conversum pona-
mus duplex sesquitertius invenitur, ut subiecta descriptio 20
docct i
Viiii. Xu. Xvl /,,1^^
Viiil Xxl Xlviiil ^
At vero si ad superpartientes animum convertamus eos- que ordinatim secundum superiora praecepta disponamus, 25 multiplices superpartientes ordinatim progenitos repperie- mus. Disponatur enim superpartientis haec formula :
VIIIL XV. XXV.
1 quantitas supra versum d. |{ ea om. c. 10 crescit a,
b; adcrescit d. || Sit] Fit a, c, d, s. Sit . . . modo] enim
hoc modo ponatur r. 12 Ponatur om. r. || superiorem]
priorem c, d. . 13 quattuor a, b, d, 1, r, s. 14 aequalis
om, d. 16 et 17 Duo hi versus in margine leguntur in a.
17 XXV.] XV- c. 19 ponamus conversum f. 20 duplus a,
c, d, f, r, s. II VLi] l et supra versum ut r. 21 docet discriptio s.
72 INST. ARITHM. II, CAPITULA.
Adscribatur ergo primus primo aequus, id est •VIIII-, se-
cundus primo et secundo, id est •XXilll-, tertius primo,
duobus secundis et tertio, id est LXIIII.
VIIII. XV. XXV.
6 ^ ^^ vun. xxiiii. Lxiiii.
Videsne, ut ex superbipartienle duplus superbipartiens
exortus sit? At vero si supertripartientem ponam, duplex
sine dubio supertripartiens invenitur, ut in subiecta de-
scriptione perspicuum est.
10 Xvi. Xxviii. Xlviiil
^^ Xvi. Xliiii. Cxxl
Sic ergo de superparticularibus vel de superpartientibus multipiices superparticulares vel multiplices superpartien-
utes oriuntur. Quare constat, omnium inaequalitatum ae-
nfs qualitatem esse principium. Ex eadem enim inaequalia
cuncta nascuntur. Ac de his quidem hactenus disseren-
dum esse credidimus, ne vel iniinita sectemur, vel circa
res obscurissimas ingredientium animos detinentes ab uti-
^ lioribus moraremur.
20 Liber primus explicii.
Incipiunt capitula lihri secundi.
I. Quemadmodum ad aequalitatem omnis iuaequalUas reducalur.
3 et duobus b, c, 1. 6 Vides, omissone, 1. || super- partiens c. 7 duplus f. 8 supertripartiens sine dubio s. I tripartiens omisso super a, b, c, f, 1, r. 9 superspicuum 1. 16 actenus f, 1. {| diserendum a, differendum c. 17 esse om. f. II credimus a, b, 1, r, || nec 1. 18 res om. d. 20 Ti- tulum om. f , r. Explicit liber primus (I. c) a, c. Liber pri- mus arithmeticae explicit s. /ra b, d, 1 praecedunt titulum: Anicii Mallii (Manlii d, 1) Severini Boecii v. c. et ill. (inL d) exconsul (cons. d) ord. (ordinis d) patricii institutionis arith- meticae. Jn d addita sunt in fine tituli: Inoipit liber II. feli- citer. 21 Titulus in margine legitur in s. || capitula] tituli b, \. II libri II. c; de libro seeundo f. || Titulo in fine addit feliciter b. 22 inaequalitatis r. 23 seducatur a, deducatur d, reducitur 1.
Inst. Arithm. Ii, Capitula. 73
n. De inveniendo in unoquoque numero, quol nume-
ros eiusdem proportionis possit praecedere eorum-
que descriplio descriptionisque expositio.
III. Quod muitiplex intervallum ex quibus superparticu-
laribus medielate posita intervallis iiat eiusque in- 5
venieudi regula.
Un. De per se conslante quantitate , quae in figuris geo-
metricis consideratur, in quo communis ratio omnium
magnitudinum.
V. De numero lineari. lo