VI. De planis rectilineis figuris quodque earum triangu-
lum prii^cipium sit. VII. Dispositio triangulorum numerorum. VIII. De iateribus triangulorura numerorum. VIIII. De generatione triangulorum numerorum. 15
X. De quadratis numeris.
XI. De eorum lateribus.
XIL De quadratorum numerorum generatione rursusque
de eorum laleribus. XIII. De pentagonis eorumque lateribus. 20
XIIII. De generatione pentagonorum.
XV. De exagonis eorumque generalionii^us.
XVI. De eptagonis eorumque generationibus et communis
omnium figurarum inveniendae generationis regula
descriptionesque figurarum. 25
XVII. Descriplio figuralorum numerorum in ordine.
XVIII. Qui figurali numeri ex quibus figuratis numeris fiant
inque eo, quod triangulus nuraerus omuium reli-
quorum principium sit.
1 in om, d. || quod d, quos a, b, c, f, 1, r, s. 2 possit praecedere] praecedat b, 1. 7 quantitate constante c. ||
figuris et geometricis d. 10 linearii a. 11 qnoque a.
12 est a. 13 Depositio c. 18 rursumque f. 21 penta, omigso gonornm, a. 22 Hic iitulus deest in a, excepta lit'
iera prima D. 23 pentagonis a, c, r, 8. |{ commnni r.
24 omnium om. a, c. || veniende d. 25 discriptiones, omisso qne, 1; discriptionis , omisso qne c; discriptione , omisso qne s. 26 fignramm a. 27 numero a, b; nnmerus r. 28 inqne eo] neqne r, in eo s.
74 INST. ARITHM. II, CAPITULA.
XVIill. Pertinens aif figuralorum numerorum descriptionem
speculalio.
XX. De numeris solidis.
XXI. De pyramide, quod ea sit soiidarum figurarum prin- 5 cipium, sicut triangulus planarum.
XXII. De his pyramidis, quae a quadralis vel a ceteris
multiangulis figuris proficiscuntur. XXIII. Soiidorum generatio numerorum. XXIIII. De curlis pyramidis. 10 XXV. De cybis vel asseribus vel iaterculis vel cuneis vel sphericis vei paralielepipedis numeris.
XXVI. De parte aitera longioribus numeris eorumque gene- rationibus.
XXVII. De anteiongioribus numeris et de vocabulo numeri 15 parte altera longioris.
XXVIII. Quod ex inparibus quadrali, ex paribus parte altera longiores fiant.
XXVIIII. De generatione lalercuiorum eorumque definitione. XXX. Do circularibus vel sphericis numeris.
^ XXXI. De ea natura rerum , quae dicitur eiusdem naturae
et de ea, quae dicilur alterius naturae et qui nu-
meri cui naturae coniuncti sint.
XXXIl. Quod orania ex eiusdem natura et alterius natura consistant, idque in numeris primum videri.
4 piramida a, d, r; pyramida f. || sit ea f. 5 sicut
triangalus planarum om. d. 7 multianguli a || procrean-
tur c. 8 soiidarum c. || generatione s. 9 curatis a.
10 cubis f. [[ culneis f, r. 11 splericis a, spericis s, sphe- ris d. II perallelipipedis r, parallelipedis s. 12 — 14 eorum- que generationibus. XXVII. De antelongioribus numeris om. d. 16 altera parte a. 16 XXVII. d. 17 longioris c. 18 XXVIIL d. II laterculoramque c. || Post definitione ad- dit: vel de generatione cunctorum eorumque difinitione d, vel de generatione cuneorum eorumque diffinitione f, vel de generatione cuneorum eorumque diffinitione natorae coniun- ctae sunt. r. 19 spiricis r, spericis s. 21 alteris r.
naturae om, b, 1. 22 coniuncti sunt a, c, d, r, s; conve- niant b, I. 23 naturae c. || natara om, b, 1, s; naturae d. 24 consistit a, c. || consistant videri in margine in-
Inst. Arithm. H, Capitula. 75
^XXXIII. Ex eiusdem atque alterius numeri natura , qui ^
sunt quadratus et parte altera longior, omnes
proportionum habitudines constare.
XXXilll. Quod ex quadratls et parte altera lougioribus
omnis formarum ratio consistat. 5
XXXV. Quemadmodum quadrati ex parte altera longio-
ribus vel parte altera longiores ex quadratis fiant.
XXXVI. Quod principaliter eiusdem quidem sit substan-
tiae unitas, secundo vero loco inpares numeri,
tertio quadrati et quod principaliter dualitas alte- 10
rius sit substantiae, secundo vero loco pares nu-
meri, tertio parte altera longiores.
XXXVII. Alternatim positis quatratis et parte altera lon-
gioribus qui sit eorum consensus iu difTerentiis
et in proporlionibus. 15
XXXVIII. Probatio quadratos eiusdem esse naturae.
!XXXVI1II. Gybos eiusdem partlcipare substantiae, quod ab
inparibus nascantur.
XL. De proportionalitatibus.
XLI. Quae apud antiquos proportionalitas fuerit, quas 20
posteriores addiderint.
XLII. Quod primum de ea, quae vocalur arithmetica
proportionalitas, dicendum sit.
feriore r. 1 XXXIII. Ex eiusdem in margine r. || et r.
numeri om, r. 2 sunt] est b, 1. |[ et] ex a, c, r. || omnis d. 4 et om. c, a a, ac s. 5 Post omnis addit ■XXXV- s. || con- slstit b, l, s; constat f. 6 XXXVI- s. [} altera] ante s.
8 XXXVI. om. a, totumque hunc titulum praecedenti addit,
XXXVII. c. 9 — 12 secundo . . . longiores om. c. || im-
paris a , d, r. 10 tertio vero 1. || quadrati . . . tertio om,
a. II quadratis r. 11 secundo vero loco .... longiores om.
b, 1, 8. [] paris d, r. || numeri om, r. 12 longiore a, r. 13 XXXVI. a, itemque infra reliqui numeri in a, uno sunt mi- nores; XXXVIII s, itemque reliqui numeri uno maiores, \\ et^ ex c. 14 quae et supra ae sec. manu i r. || eorum qui sit c. 15 in om, a, b, I, s. 16 eiusdem natnrae esse b, 1. 17 Cubos f, s. II eiusdem participare eiusdem a, c. || sub- stantia d. || ab om, b, l. 18 imparis r. || nascuntur f. 19 proportionalibus d. 20 aput s. || antiquiores b, 1. 22 vo- cantur c. 23 dicendum est a, c, d, f, r, speculandum est s, speculandum sit b, 1. '
76 INST. ARITHM. II, CAPITULA.
XLIII. De arilhmetica medietate eiusque proprietatibus.
XLIIII. De geometrica medietate eiusque proprietatibus.
XLV. Quae medietates quibus rerum publicarum stati-
bus comparentur.
5 XLVI. Quod superficies una tantum in proportionalitali-
bus medietate iungantur, solidi vero numeri dua-
bus medietatibus in medio collocatis.
XLVII. De armonica medietate eiusque proprietatibus.
XLVIII. Quare dicta sit armonica medietas ea quae di-
10 gesta est.
XLVIIII. De geometrica armonia.
L. Quemadmodum constitutis altrinsecus duobus ter-
. minis arithmetica , geometrica et armonica inter
eos medietas alternetur; in quo de eorum gene-
15 rationibus.
LI. De tribus medielatibus , qnae armonicae et geo-
metricae contrariae sunt. LII. De quattuor medietatibus , quas posteri ad im- plendum denarium limitem adiecerunt. 20 LIII. Dispositio decem medietatum.
LIIII. De maxima et perfecta symphonia, quae tribus distenditur intervallis.
Expliciuni capitula.
3 quibns rebus rerum b, 1. || stantibus a, c. 5 una tantnmj unitatum f. [j tantum om, d. 6 duobus a, c.
7 coUocantur a, b, c, l. 9 dicta om, c. || ea om. b, 1. '
degesta r, gesta a, c. 10 sit c. 11 armonica a, b, c, 1. 12 constitutus a. 14 alternetur om, s. || in quo de] in
quod c. 16 arithmeticae c, d, f, 1, r, s; arithmetichae a, b ; qui communis omnium codicum error fiaud scio an uni f(Tnti trihuendus sit, || et om. a, c. || geometricae atque armoni- cae b, 1. 17 contraria c. 21 maxima] armonica. || e* om. s. 23 Titulum om. b, c, d, 1, r, s. In & in fine addituf^ est: DuJ rpaK [Domino vel Deo gratias litteris graecis expres- sum?'^
Inst. Arithm. U, 1. 77
Incipit liber secundus.
fjuemadmodum ad aequalitaiem omnis inaequalitas redu-
caiur,
I. ^Superioris libri disputatione digestum est , quem- ' admodum tota inaequalitatis substantia a principe sui ge- 5 ^ neris aequalitate processerit? Sed quae rerum elementa suDt, ex hisdem principaliter omnia componuntur, et in eadera rursus re^olutione facta solvuntur; ut, quoniam articularis vocis elementa sunt litterae, ab eis est syllaba- nim progressa coniunctio et in easdem rursus terminatur lo exlremas; eandemque vim obtinet sonus in rousicis. lam jero mundum corpora quattuor non ignoramus efficere; namque ut ait: Ex imbri, terra atque anima gignuntur et ^ igni^Sed in haec rursus eius quattuor elementa fit postre- ma solutio. Ita igitur, quoniam ex aequalitatis margine i5 cuDctas inaequalitatis species proficisci videmus, omnis a nobis inaequalitas ad aequalitatem velut ad quoddam ele- meDtum proprii generis resolvatur. Hoc autem trina rur- sus impefatione coUigituF, eaque resolvendi ars datis qui- ">
1 Anicii Manlii Severini Boecii vc et int. exconsul: ord patricii liber secundns incipit. a; Anicii MaUii Severini
Boecli (Boetii 1) vc exconsnl orcT patricii arithmeticae insti- tutionum liber secundus ('II- l) incipit. b, 1; Incipit liber secTindus arithmeticae f. H Titulum om. d. ]| secundus] •II* c. 8. 2 et 3 Hunc tiiulum om, a, b, f, 1. {] deducitur d.
Hegestum a, deiestum r. 5 a om, a, c. 6 elimenta ^tlinfra. 9 sillabarum a, 1, r, s. 10 terminatus c.
or 12 IIII- a, c, 1, r, s; quatuor b. 13 ut. ait Lucretius c, 1; ^t ait Plato r; ut ait Lucretius et supra versum sec. manu: Olossa b, s; ut ait et supra versum poeta vel philo et sec. Mnu sophus lucretius d (Lucretius I, 716: Ex Igni, Terra '^tqiie Anima procrescere et Imbri). || imbri et terra s. || at- l^e om. a, r; terraque b, c, 1. || animatia a; anima et supra ^mum i. aere b, 1. 14 •IIII- c, s. || postremo a, c, f.
1» resolutio f, s; solutio, re supra versum addito 1. U inae- i^alitas a nobis c, d, f, 1, r. 17 velud s. || velut rursus a, ''^rsus velut d, f, 1, s. 18 Haec corr. in hoc a; hoc supra 'f^sum r. 19 collegitur c.
78 INST. ARITHM. U, 1.
biislibet tribus terminis inaequalibus quideih sed propor- tionaliter constitutis, id est ut eandem medius ad pri- mum vim proportionis obtineat, quam qui est extremus, ad medium, in qualibet inaequalitatis ratione vel in multipli- 5 cibus, vel in superparticularibus, vel in superpartientibus, velin bis, qui ex bis procreanlur multiplicibus superpar- ticularibus, vel multiplicibussuperpartientibus, eadem atquc una ratioue indubitata constabit. Propositis enim tribus, ut dictum est, terminis aequis proportionibus ordinatis ulli-
^^ laun) semper medio detrabamus et ipsum quidem ulti-
mum primum terminum conlocemus, quod de medio re-
linquitur, secundum. De tertia vero propositorum termi-
norum summa auferemus unum primum et duos secun-
dos, eos, qui de medietate reiicti sunt, et id quod ex ter-
15 tia summa reiinquitur, tertium terminum constituemus» Videbis igitur boc facto in minorem modum summas re- verti et ad principaliorem babitudinem comparationes pro- portionesque reduci,^ ut si sit quadrupla proportio, primo ad triplam, inde ad duplam, inde ad aequalitatem usque
2Q remeare; et si sit superparticularis sesquiquartus , primo ad sesquitertium , inde ad sesqualterum, postremo ad tres aequales terminos redire.' Hoc aiitem nos exempli gratia in multiplici tantum proportione docebimus, sollertem vero in aliis quoque inaequalitatis speciebus id experten -
25 tem eadem ralio praeceptorum iuvabit. Constituantur enim tres a se termini quadrupli.
VIII. XXXII. CXXVIII.
Aufer igitur ex medio minorem , id est ex triginta duo-
bus octonarium, relinquuntur •XXIIII- et primum octona-
rium terminum pone, secundum vero, quod relictum
fuerit ex medio, id est •XXIIII-, ut sint hi duo termini
3 quam habet a. 6 quae c, d, 1, r, s. || ex is d. |{
Post procreantur addit hoc est c. 7 vel om, f, 9 ut ul~
timum a, c; ut supra versum r. 12 tercio f. 13 aufe-
ramus s; auferemus corr. in auferamus a. 23 multiplici
tantum] multiplicantium d. || solertem a, b, r. 29 relin-
quunt c. 30 pones d. 31 sunt c. || II- c.
Inst. Arithm. Ii, 1. 79
VIII- et XXIIII. De lertio vero, id est CXXVIII., aufer uuum primum id est VIII- et duos secundos, qui sunt reliqui, id est bis •'XXIIII- et relinquuntur LXXH- His dispositis terminis ex quadrupla propinquior aequitati pro- portio tripla redacta est. Sunt enim hitermini: VHI.XXIHI. 5
^ LXXII. Ex his aulem ipsis idem si feceris, ad duplam rursus comparatio remeabit. Pone enim primum minori aequum , id est VIH-, et ex secundo aufer primum, XVI- relinquentur; sed ex tertio, id est ex LXXII-, aufer pri- mum, id est VIH- et duos secundos, id est bis XVI-, et lo erit reliqua pars XXXH- , quibus positis ad duplas pro-
! portiones habitudo redigitur : VIIL XVI. XXXH. Idem vero
\ ex his si fiat rem omnem ad aequitatis summas eiiquabi- mus. Pone enim primum minori aequum, id est -VIH-;
I et aufer ex XVI- octonarium , remanent •VIH- , quibus i5
positis ex tertio, id est XXXII-, sumptis primo, id est
•VIIL et duobus secundis, id est octonariis, supersunt
•VIII-; quibus dispositis prima nobis aequitas cadit, ut
subiectae summulae docent
VIII. VHL VHL ^o
Hinc igitur si quis ad alias inaequalilatis species ani-'' mum tendat, eandem convenientiam intitubanter inveniet. Quare pronuntiandum est, nec ulla trepidatione dubitan- dum, quod quemadmodum per se constantis quantitatis unitas principium et elementum est,^ ita et ad aliquid rela- 25 tae quantitatis aequalitas mater est. Demonstravimus enim, quod hinc et eius procreatio prima foret et in eam rursus postrema solutio.
4 aeqaitate a; aequalitati s; aequitati et supra i al f. 5 hi] in c. 6 Ex supra versum 'h. [] duplum a, c, r, s.
9 relinquetur c. 10 sedecim c, d, f. 11 triginta duo