a, 1, r, s. II propositiones d , r. 13 si om. s. || aequallta- tis s; aequitatis et supra i al f. || Supra eliquabimus : deri- vabimns, ad purum ducemus, resolvemus b, exprimemus d. 15 sedecim f. || octo f. 16 dispositls f, s; positis, dis su- pra versum addiio r. || triginta duobus d; XXX et duobus f. 18 positis c. II aequitas nobis c. || aequalitas f. 20 •VIII- et -VIIL et ■VIII- a, c, d, f, r, s. 26 aequalitas supra ver- sum d. 27 eam] eadem c. 28 solatio, a i?i u muiato, r. I|
80 INST. ARITHM. II, 2.
De inveniendo in unoquoque numero quot numeros eius- dem proportionis possit praecedere eorumque descriptio
descriptionisque expositio.
'..•j-^ 11. Est autem quaedam in hac re profunda et miranda
5 speculatio et ut ait Nicomachus enmusotaton theorema
proficiens et ad Platonicam in Timaeo animae generatio-
nem et ad intervalla armonicae disciplinae. Ibi enim iu-
T)emur producere atque extendere tres vel quattuor ses-
< qualteros vel quotlibet sesquitertias proportiones et ses-
10 quiquartas comparationes easque secundum propositum
^rdinem saepe continuas iubemur extendere. Ne autem
hoc labore quodam, semper quidem maximo, frequentius
,.. ^s^ inferaci fiat, Tiac nobis ratione in quot numeris quanti
^ possint esse superparticulares vestigandum est?
15 Omnes enim multiplices tantarum similium sibimet
proportionum principes erunt, quoto ipsi loco ab unitate
discesserint. Quod autem dico sibimet simUium , tale est,
"ut dupli semper multiplicitas , ut superius destinatum est,
sesqualteros creet et dux sit triplex sesquitertiorum , qua-
20 druplus sesquiquartis. Primus ergo duplex unum solum
habebit sesqualterum , secundus duo, tertiustres, quar-
tus quattuor et secundum hunc ordinem eadem fit in infi-
nitum progressio, neque unquam fieri potest, ut vel su-
peret proportionum numerum vel ab eo sit deminutior
' ' ' 25 aequabilis ab unitate locatio. Primus ergo duplex est
solutio est f, s; est supra versum 1. 1 IHtulum om. c, f; in margine d. || inyeniendi s. |[ in om. b, d, 1. || quos a, c, f, r, s; qaod d. 2 possit praecederc] praecedat s. 3 de-
scriptionisque expositio ow.. s. || dispositio b. 6 in enmusi- taton a; enmusitaton, c, d, s; in supra en b; enmiisica ton r; HNMYCITATON 1. || torema b; OeQPEMA 1. 11 hoc
autem c. 13 in om. c. 14 investigandum a, f, s; yesti- gandum, addito supra versum in 1, r. ~ 18 distinatum] dictum c. 19 creet supra versum r. || et 07n. d. || triplex sit r. 20 ses- quiquartorum a; sesquiquarti s; sesquiquartus , us in is ?nu- tato, c, r. 21 duo correcl. in duos a; -11 • c. || •III' c.
22 •IIIL c. II sit a, b, c, f. || infinitam c. 24 numerus a. 26 duplus f.
Inst. Arithm. Ii, 2. 81
binarius numerus, qui unum solum sesqualterum recipit, ^^ id est ternarium, binarius enim contra ternarium compa- ratus sesquaiteram efficit proportionem. Ternarius vero quoniam medietatem non recipit, non est alter numerus, ad quem in ratione sesqualtera comparetur. Quaternarius 5 vero numerus secundus duplus est. Hic ergo duos ses- ^ qualteros praecedit. Est enim ad ipsum quidem compara- tus senarius numerus, ad senarium vero, quoniam medie- tatem habet, novenarius, et sunt duo sesquaiteri, ad •IIII* scilicet -VI-, ad -VI- vero •VIIII; novenarius vero, quoniam lo medietate caret, ab hac comparatione seclusus est. Tertius vero duplex est •VIII- Hic ergo tres sesqualteros antece- dit. Comparatur enim ad ipsum duodenarius numerus, ad duodenarium -XVin-, ad 'XyiU' rursus .XXVU- At vero •XXVH- medio carent. Idem quoque in sequentibus eve- is nire necesse est, quod nos cum propria ordinatione sub- didimus. Semper enim hoc divina quadam nec humana^ constitutione speculationibus occurrit, ut quotienscunque ^, « ^ ultimus numerus invenitur, qui loco duplicis ab unitate '^■'\ sit par, talis sit, ut in medietates dividi secarique non 20 possit. ~^
I. H. IIH. Vni. XVI. XXXH.
III. VI. XH. XXHII. XLVIH.
' Vmi. XVIIl. XXXVL LXXH.
Xxvh. Lhii. Cviu. 25
LXXXI. CLXU. CCXLHI.
Idem contingit etiam in triplicibus. £x illis enim ses-
1 recepit c. 9 Posi novenarius addit est sesqualter f . quattnor d, f. 10 -VI- et ad -VI- f. || vero om, c. || no- vem a, b, r. || novenarius supra versum r. 16 Idem quo- que] Idemque d, f, r ; Idemque in litura a. 16 subdimus c. 20 par, talis] particularis a; partibilis et in margine : In &l. par, talis b. H sit ut supra versum sec. manu b. || non possit sec. manu a. 21 jPost possit addit: ut subiecta declarat descri- ptio huinsmodi r, ut subiecta descriptio declarat s.
Boetius. 6
82 INST. AEITHM. II, 2.
i ) quitertii procreantur. Nam quoniam primus triplex est
ternarius numerus, habet unum sesquitertium, id est •IIIIv
cuius quaternarii tertia pars non potest inveniri. Atque
ideo hic epilrito caret. Secundus vero, qui est •VIIII-,
5 habet ad se duodenarium numerum sesquitertium , duo-
denarius autem, quoniam habet tertiam partem, in ses-
quitertia proportione comparatur ad eum numerus -XVIv
qui tertiae partis sectione solutus est. -XXVU- autem,
quoniam tertius est triplex, habet ad se sesquitertium
10 XXXVI- et hic rursus ad •XLVIII- eadem proportione
comparatur. Cui si •LXIIII* appositi fuerint, eandem rur-
sus vim proportionis explebunt, quos •LXIIII- ad nuUum
sesquitertium rursus aptabis, quoniam parte tertia non
Ttenentur. Atque hoc in cunctis triplicibus invenitur , ut
15 extremus eiusdem proportionis numerus tantos ante se
praecedentes habeat, quanto primus eorum ab unitate
discesserit et qui tot super se eiusdem proportionis ha*
buerit numeros, quotus ab unitate primus eorum iacet.
Eius pars, qua ilii comparatus numerus possit eandem
20 facere proportionem , inveniri nequeat. Et triplicis qui- dem haec est descriptio.
I. m. viiii. xxvn. lxxxi. ccxliii.
IIIL XII. XXXVI. CVIII. CCCXXIIII.
, , XVI. XLVni. CXLIIII. CCCCXXXII.
25 LXUII. CXCII. DLXXVI.
CCLVI. DCCLXVIII. IXXUII.
At quadrupli secundum hanc formam descriptio est,
ad quam sciUcet, qul a prioribus instructus accesserit,
* 30 nulla ratione trepidabit. Et de ceteris quidem multiplici-
bus eandem convenientiam pernotabis.
2 qaattuor d. 9 triplex est c. 10 ad om, c. 11 op- positi r. 13 rursus om, a. s. || tertia parte c. 18 iaceat a. 19 pars eius quia c. 20 nequit d, f, r, s. 31 ean- dem non aliam d, f, s. |1 pernotabit, t in liiura, 1; pemota- bit hoc modo r, s.
Inst. Arithm. 11, 3. 83
lUI.
Lxnii.
CCLVI.
IXXIIII.
XX.
LXXX.
cccxx.
ICCLXXX.
cccc.
IDC.
cxxv.
D. DCXXV.
IID.
IIICXXV. ^ Hinc quoque perspicuum est superparlicularium , quem- f'», admodum prius ostensum est, primos esse muitiplices, si quidem dqplices sesqualteros , . triplices sesquitertios et cuncti multiplices cunctos in ordinem superparticuiares lo creant. Est etiam in his quoque mirabiie. Namque ubi prima lalitudo fuerit duplex, et sub eisdem qui sunt ver- sus continui alternatim positi secundum seriem lalitudinis duplices erunl. Si vero fuerint triplices et inferiores or- dines tripla se in suis terminis multiplicatione supera- 15 bunt; at in quadrupla quadrupli atque hoc in infinita du- ctum speculatione non failit. Angulares autem omnium multiplices evenire necesse est. Erunt autem duplicium qnidem triplices, triplicium quadruplices, quadruplorum vero quincupli et secundum eandem ordinis incommuta- 20 bilem rationem sibimet cuncta consentient. Quibus expo- sitis ad sequentem operis seriem conpetens disputatio convertalur.
Quod multiplex intervallum ex quihus superparticularibus medietaie posita iniervallis ftat eiusque inveniendi regula. 25
III. Si igitur duae primae superparticularis species con- ^ ^ iuDgantur, prima species multiplicationis exoritur. Omnis
_ 4 n.] n. DCCCC XXXVI. a ; I CCCC XXXVI.J. 6TID.]
n. CCLXXVI a , f. 6 III. CXXV] lU. DCXVI a ; II. DCXVII
f; II. CXX c. 9 si quidem .... triplices in margine d. || sesqnalteros creant s. [] Posi sesquitertios addii et qua- drupli sesquartos f. 10 multipUces cuncti a, c, s. 14 vero om, 1; supra versum b. 16 at om. a, b, c; atque r. || hoc
om. s. y in om. d; supra versum a, c. |] doctum a, f; ali- quem ductum s. 18 autem] enim d, r. 21 cuncta om. a. 24 Inscripi. om, d. || particularibus f. 26 superparticulares a,f.
84 Inst. Arithm. U, 3, T^
enim duplex ex sesqualtero sesquiterUoque compoDitur et
omnis sesqualter et sesquitertius duplicem iungunt. Nam
ternarius sesqualter est duorum, quattuor vero sesquiter-
tius ternarii, sed •IIII* duplus duorum.
dgpltts
5 IL IIL -jg: w
sesqnalter sesquitertius
Sic igitur sesqualter et sesquitertius unum duplicem com- ponunt. At vero si fuerint medietas et duplus , inter du- pilcem et medium potest una medietas talis inveniri, quae ad alteram extremitatem sesqualtera sit,, ad alteram ses-
10 quitertia. Altrinsecus enim positis senario et ternario , id est duplici et medietate, si quaternarius in medio conlo- cetur, ad ternarium numerum sesquitertiam continet
. rationem , ad senarium vero sesqualteram.
. duplus
fii. m. "yi.
sesquitertius sesqualter
15 Recte igitur dictum est, et duplicem a sesqualtero ses- quitertioque coniungi et has duas superparticularis spe- cies duplicem procreare , id est primam speciem multipli- cis quantitatis. Rursus ex prima multiplicis specie id est ex duplici et prima superparticularis id est sesqualtera»
20 continens multiplicis species id est tripla coniungitur. Namque -XII- senarii numeri duplus est, -X* vero et -¥111. ad duodenarium sesqualter, qui ad senarium numerum triplus est.
triplns
VI m xvni.
duplus sesqualter
4 quatuor b, quattuor d, f. 6 Si mutattm in Sic a.
7 fuerit f, 1. 9 sit] fit a, b, r, s. 12 tertium corr, in
ternarium a. 16 dictum est om. d. 18 multiplici d.
19 superparticulari a,. r; & ex corr, ctddito s. [] sesqualteram f.
20 multiplici corr. in multiplicis a. || coniungit c. 21 duo- decimus c, duodecim d, f, 1. || numeri om, s. [] dupla a, f; dupla et supra a us d, r; duplus et supra versum l pla b. i| decem vero et octo b, d, f.
Inst. Arithm. Ii, 3. 85
Et si positis eisdem -VL et •XVIII- novenarius nume-
rus in medietate ponatur, erit ad senarlum sesqualter,
qui ad •XVIII» dupius est, et ad senarium •XVIII- tri-
plus est.
triplus
yi. viui. xvm. 5
sesqualter duplus
Ex duplici igitur et sesqualtero tripiex ratio propor- tionis exoritur , et in eas rursus resolutione facta revoca- tur. Si autem hic, id est triplus numerus, qui est species secunda multiplicis, secundae speciei superparticularis aptetur, quadrupii continuo forma contexitur. Et in eas- 10 dem rursus partes naturali partitione soivetur secundum modum» quem superius demonstravimus. Si vero qua- druplus sese ac sesquiquartus adglomerent, quincuplus continuo fiet, et si quincuplus cum sesquiquinto , mox sescupli proportio coniugabitur, atque ita secundum hanc 15 progressionem cunctae multipiicitatis species sine ulla rati ordinis permutatione nascentur, ita ut duplus cum sesqualtero triplicem creet, triplus cum sesquitertio qua- druplum, quadruplus cum sesquiquarto quincuplum et eodem modo, ut nullus hanc continuationem finis in- 20 pediat.
1 sex c. II numerus om. a, c, r. 2 medietate] medio f. II ponitur d. || eritque d. 3 octavum decimum s. 4 est om, d. Post est addii secundum subiectae figurae formulam r, secnndum subiectae figuram formulae s. 6 duplo in litura r ; dupli corr. in duplici a. [] ratio supra versum b. 10 apta-
quadruplus
tur f. II Po8i con- -y ITT ' IlfT ^' ^' ^^^' ^^^* ^^ ^^
texitur addit ^* — ^^ ^' margine &l III.
triplus sesqiiitertius VIIII. XII. b; in margine III. Vnil. XU. d. 14 Post
fiet addit IIII. XVI. XX. b; una cum arcubus et inscriptioni' bus 1; in margine d. 15 coniungabitur a, n rasura deleto r; coniungitur b, 1; coniungetur c , f . [| Posi coniugabitur ad- dit V. XXV. XXX. b; una cum arcubus et inscriptionibus 1; in margine d. 17 rati om, c, d, f, r, s; ratione a; rati su- pra versum b. 18 creat s. [| et triplus a, c , r , s. 19 qua- druplus - . . quincnplum om. a. 20 fini corr. in finis a.
86 INST. ARITHM. H, 4.
Be per se constante quantitate , quae in figuris geometri- cis consideratur ; in quo communis ratio omnium magnitu-
dinum,
IIII. Haec quidemde quantitate, quam secundum ad [?]
5 aliquid speculamur, ad praesens dicta sufficiant. Nunc
autem in hac sequentia quaedam de ea quantitate, quae
per se ipsam constat, neque ad aliquid refertur, expe-
diam, quae nobis ad ea prodesse possint, quae post haec
rursus de relata ad aliquid quantitate tractabimus. Amat
10 enim quodammodo malheseos specuiatio alterna probatio- num ratione constitui. Nunc autem nobis de his numeris sermo futurus est, qui circa figuras geometricas et earum spatia demensionesque versantur, id est de linearibus nu- meris et de triangularibus vel quadratis ceterisque, quos
15 sola pandit plana demensio, nec non de inaequali iaterum compositione coniunctis; de soiidis etiam, id est cybis et sphericis vel pyramidis, laterculis etiam vel tignulis et cuneis, quae omnia quidem geometricae propriae consi- derationis sunt, sed sicut ipsa geometriae scientia ab
20 arithmetica velut quadam radice ac matre producta est,
ijta etiam eius figurarum semina in primis numeris inve-
nimusy pianum siquidem fecimus, quod omnes discipli-
nas haec interempta consumeret, quas minime constituta
firmaret. Hoc autem cognoscendum est, quod baec signa
25numerorum, quae posita sunt, quae nunc quoque homi-
nes in summarum designatione describunt, non naturali
institutione formata sunt. Ut enim quinarii subiectam no-