1 Titulum om. d; De per se . . . . in quo om, b, c, 1, r et s, in quo Tertium thema incipit. 2 consideratur om, f. 5 speculamus f. 7 ipsa d. 9 aliquid] aliud f, 1. 10 al- ter corr, in alterna a. 13 dimensionesque c, d, 1. 14 de ante triangularibus om. d. 16 cubis s. 17 spericis r, s. 18 propriae] Fortasse legendum proprie. 19 geometricae a, c, r, s. 24 infirmaret b, c; non firmaret a; firmaret post lituram 1; firmaret addito ex corr, in r. 25 quae om. a;
supra versum d, r; punctis suhnotatum b. || sunt punctis suh-
notatum b, stuuc d.
Inst. Arithm. Ii, 4. 87
tulaTn fingant de -V-, vel denarii, quam descripsimus, id est de ^X- , et alias huiusmodi non natura posuit, sed usus adfinxit. Qoinque enim unos, vei decem vel quotlibet aiios illis notulis pro conpendio notare voluerunt, ne, quot unitates quis monstrare veilet, totiens ei virgulae duce- 5 rentur. Nos autem, quotienscunque aliquid monstrare volumus, in his praesertim formulis, ordinatarum virgu- Jarunn multitudinem non gravamur apponere. Cum eniriP quinque volumus demonstrare , facimus quinque virgulas ducimusque eas hoc modo •IIIIL et cum septem, totidem, lo et cum decem, nihilo minus, quia naturaiius est quem- libet numerum, quantas in se retinet, tot unitatibus ad- signare quam notuiis. Est igitur unitas ncem obtinens puncti, intervalli longitudinisque principium; ipsa vero nec intervalii nec longitudinis capax, quemadmodum pun- 15 ctum principium quidem lineae est atque intervalii, ipsum vero nec intervalium nec linea. Neque enim punctum puncto superpositum uUum efficit intervallum, velut si nihil nuili iungas. Nihii enim est, quod ex nullorum pro- creatione nascatur. Eadem quippe etiam circa aequalita- 20 tes proportio manet. Nam si quotlibet fuerint termini pares , tantum quidem est a primo ad secundum , quan- tum a secundo ad tertium» sed inter primum et secun- dum vei secundum et tertium nulla est intervalli longi- tudo vel spatium.^i enim tres senarios ponas, hocmodo: 25 VI. VI. VI. quemadmodum primus est ad secundum , sic ^ est secundus ad tertium, sed inter primuni et secundum
1 fingant] signant a, 1, s; fingant ei supra versum Sil sig- nant b. |f de «V-J id est -V' f. || vel] et de |] id est punctis subnotalum b. 2 de -X.] de om. a, d, f. 1] possuit r, pos- sunt corr, in posuit a. 3 adfixit d. || unos] •¥• nota f. ||
vel decem -X- f, 1; in margine r; vel «X* a, b, c, s. || quod- libet r; quolibet corr. in quoslibet a. 4 quot] quotiens 1, s; qnoti et supra versum ens r; quot punciis subnotatum et supra verstem ai quotiens b. 5 toties r, s. 6 quotiescunque r, s; quotiens d, f. 9 faciemus f, facimus in liiura r. H ♦¥• a, r, s. 10 ducemusque f. || •VII- a, c, r, s. 11 -X- a, c, r, s. || quia] qnam c. 13 designare a, c, r, s. 22 est om. a.
25 III- c. 27 est om. a, s.
88 INST. ARITHM. II, 4.
nihil interest. •¥!• enim et -VL nulla spatii intervalla dis-
iungunt? Ita etiam unitas in se ipsa multiplicata nihil
procreat. Semel enim unum nihil aliud ex se gignit, quam
ipsa est. Nam quod intervallo caret, etiam yim gignendi
5 intervalla non recipit» quod in ahis numeris non videtur jtevenire. ^mnis enim numerus in se ipsum multiplicatus V alium quendam efOcit maiorem, quam ipse est, idcirco, <^Ai V quoniam intervalla multipiicata maiore sese spatii proiixi- tate distendunt. Id vero, quod sine intervallo est, plus quam
10 ipsa est pariendi non habet potestalem.^ Ex hoc igitur principio, id est exunitate, prima omnium iongitudo suc- crescit, quae a binarii numeri principio in cunctos sese numeros explicat, quoniam primum intervalium linea est. Duo vero intervalla sunt longitudo et iatitudo, id est linea
15 et superficies. Tria vero intervalla sunt: longitudo, lati- tudo, altitudo, id est linea, superficies atque soliditas. Praeter haec autem alia intervalla inveniri non possunt. ^ut enim unum intervallum erit, quod iongitudo est, aut aiiquid duobus intervailis expositum est, ut si qua res lon- ^ 20 gitudinem habeat et latitudinem , vei trina intervalli de- mensione porrigitur, si iongitudine altitudine iatitudine- que censetur? supra quae adeo nihil inveniri potest,ut ipso- rum •VI- motuum formae ad intervallorum naturas et nu- merum componantur. Unum enim intervallum duos in se
25 conlinet motus, ut in tribus intervaliis sex sese motuum summa conficiat hoc modo : Est enim in longitudine ante et retro, in latitudine sinistra et dextera, in altiludine sursum ac deorsum. Necesse est autem, ut quicquid fue- rit soiidum corpus, hoc habeat longitudinem latitudinem-
30 que et altitudinem , et quicquid haec tria in se continet,
2 nil f. 3 nil b, f. 9 vero] circo corr. in vero a. 10 ipsa corr. in ipsam a, s. 13 explicabit d, f. 15 vero] ergo s. [] longitudo et latitudo et altitudo a; longitudo lati- tudo et altitudo s. 16 linea supra versum r. || linea et c, s; et supra versum r. 19 aliquid, quod c, f, 1, s; quod su- pra versum r. 21 latitudine altitudineque s. 22 supra- que a, 1. 23 sex d , f. 26 summa supra versum s. || con- ficiet d; conficiat summa r. 29 latitudinem, omisso que, a, c, d, f, r. 80 in se om, c
Inst. Arithm. Ii, 4. 89
illud suo nomine solidum vocetur. Haec enim tria circa omne corpus inseparabili coniunctione versantur, et in natura corporum constituta sunt. Quare quicquid uno in- tervallo caret, illud corpus solidum non est. Nam quod duo sola intervaila retinet, illud superOcies appellatur. 5 Omnis enim superOcies sola longitudine et latitudine con- tinetur. £t hic eadem illa conversio remanet. Omne enim quod superficies est, longitudinem et latitudinem retinet, et quod haec retinet, illud est superOcies. Haec autem superficies uno tanlura intervallo solidi corporis demen- lo sione superatur, quae uno rursus intervalio lineam vincit, quae longitudinis naturam retinens latitudinis expers est; quae linea, quod unius est intervalli sortita naturam, a superficie uno intervallo, a soliditate diiobus spatiis vinci- tur. Punctum igitur alio rursus intervallo a iinea vinci- 15 lur, ipsa scilicet, quae reliqua est, longitudine. Quare si puuctum uno quidem intervallo a linea supergreditur, idem a superOcie vincitur duobus, tribus vero intervalii demensionibus a soiiditate relinquitur, constat punctum ipsum sine ulla corporis magnitudine vel intervalli demen- 20 sione, cum et longitudinis et latitudinis et profunditatis expers sit , omnium intervallorum esse principium et n^- tura insecabile, njuod Graeci atomon vocant, id est ita deminutum atque parvissimum , ut eius pars inveniri non possit.^ Est igitur punctum primi intervalli principium, ^5 non tamen intervailum, et lineae caput, sed nondum linea, sicut iinea quoque superOciei principium est, sed ipsa superficies non est, et secundi intervalli caput est, secun- dum tamen intervallum ipsa non retinet. idem quoque et
5 •II' a, 1, r, 8. II retinent d. 6 continet c. 9 su- perficies est c. 10 tanto el supra versum l tum b; tanto
et supra o v f. 13 quod] quia c, f; eo quia s. 14 spa- tiis interyaliis a , spatii intervallis et supra versum al spatiis b; Intei^vallis , omisso spatiis, f. 18 idemque f; idem, ad- dito ex con\ que a. 20 ullo c. 21 profundi a; profundi et supra versum tatis r. 23 ATOMON 1; atomum d. || quod est ita 1; id est ita et supra id 1 qd b. 25 primi punctum a; primi om, c, r, s; supra versum d. 26 sed nondum] non tamen d. 28 est post caput om. a, c, r, s.
X .iS '• k'
90 INST. ARITHM. II, 5. 6.
in superficiei ratiooem cadit, quae et ipsa solidi corporis et triplicis intervalli naturale sortitur initium, ipsa vero nec trina intervalli demensione distenditur, nec ulla cras- situdine solidatur.
5 Be numero linearL
V. Sic etiam in numero unitas quidem, cum ipsa
linearis numerus non sit, in longitudinem tamen distenti
numeri principium est, et linearis numerus, cum ipse to-
tius iatitudinis expers sit, in aliud tamcn spatium latitu-
10 dinis extenti numeri sortitur initium. Superficies quoque
numerorum, cum ipsa solidum corpus non sit, additi
tamen latitudini solidi corporis caput est. Hoc autem
planius his exemplis liquebit. Linearis numerus est a
duobus inchoans adiecta semper unitate in unum eun-
15 demque ductum quantitatis explicata congeries, ut est id, quod subiecimus.
iT. III. iiii. iiiii. iiiiii. iriiiii. iiiiiiii. iiiiiiiiL iiiiiiim.
De planis rectilineis figuriSj quodque earum iriangulum
principium sit.
20 VI. Plana vero superficies in numeris invenitur,^quo-
^ -cT tiens a tribus inchoatione facta addita descriptionis latitu-
dine insequentium se naturalium numerorum muUitudine
1 superficie d. {| rationem ex corr, additum d, r; ra- tione a. [] cadit ratione f. || cadat c. 6 Titulum om. d. j| linearum c, r, s. 7 longitudine f. [| tamen om. 1; tantum c. 11 additi] in margine: in al: addita b; additi el supra i i a 1. 12 latitudini] altitudini in litura r, altitudine s; t« ^margine altitudini b, altitudine 1. || autem] est puncto sub- notaium et supra versum autem f. 13 licebit corr, in lique- bit a. 15 explicita f. IT Ab -1- initium faciunt r, s;
Ilinillll om. s; IIII. IIII. IIII. a; II. IIII. III. III. et supra versum II II II II II II II II II b, 1; virgulae ductae sunt viginii et una in c, duodecim in d, iriginia quattuor in f' 18 Titulum om. d. || quoque f. |1 triangulus a, 1: trian^l»' rium f. 19 principalium f. [| sit om. f. est principium a, b- 20 quoties a. 22 in sequentium a, d. (| multitudinem f*
INST. ARITHM. II, 6.
anguli dilalantur^ ut sit primus triangulus numerus, se-
cundus quadratus, tertius qui sub quinque angulis conti-
netur, queni pentagonum Graeci nominant, quartus exa-
gonus, id est qui sex angulis includitur et ceteri eodem
modo singillatim per naturalem numerum angulos au- 5
geant in plana scilicet descriptione Ogurarum. HHi vero
idcirco a ternario numero inchoant, quod latitudinis et
superficiei solus ternarius principium est? In geometria
quoque idem planius invenitur. ^Duae enim lineae rectae
spatium non continent. Et omnis triangularis iigura vel lo
tetragoni vel pentagoni vel exagoni vel cuiuslibet, qui
pluribus anguiis continetur, si a medietate per singulos
angulos lineae producantur, tot eum dividunt trianguli,
quot ipsam figuram angulos habere contigerit. ^Qua-
dratum enim ita ductae lineae in quattuor, pentago- 15
num in quinque triangulos, exagonum in sex et cete-
ros in suorum angulorum modo mensuraque per trian-
gulos partiuntur, ut est subiecta descriptio: quadratus
in quattuor triangulos divisus, p^ y\ pentago
Qus in V triangulos divisus.
2 'V- a, b, 1. 5 singulatim a, c, 8. 8 geometrica a, c, d, l, r, 0. 9 enim om. a. 10 spatium latitudinis s. || triangula- res c. II fig^a om. c, figurae s. 11 qui] quae c. 16 triangulos m. a, d, f . 18 quadratus etc.] Hanc et sequenies inscripiiones om. ^, f ; prima tamen videiur in d rasura esse deleta, f addit: te- tragona. 19 pentagonus] Figuram peniagoni regularis habet s.
INST. ARITHM. II, 7.
exagonus in sex trianguios divisus. < At
vero triangula figura, cum eam quis ita divi-
serit, in alias figuras non resolvitur, nisi in se
ipsam. In tria enim triangula dissipatur.
5 Triangulus in tres triangulos divisus:
Adeo haec figura princeps est latitudinis, ut celerae omnes superficies in hanc resolvantur, ipsa vero, quo- niam nuliis est principiis obnoxia neque ab alia latitudine sumpsit initium , in sese ipsam solvatur. Idem autem et in 10 numeris fieri, sequens operis ordo monstrabit.
Disposiiio triangulorum numerorum.
Vn. Esl igitur primus triangulus numerus, qui in solis
tribus unitatibus dissipatur secundum superficiei positio-
nem, triangula scilicel descriptione , et post hunc quicun-
15 que aequalitalem laterum in trina iaterum spatia segregant.
I. 111. VI. X.
1 exagonus] Figtiram exagoni regularis habeni d , s. 3 in se om, c. 5 Triangulus etc.] Hanc inscripiionem om. c, d, f, 1. 6 Ideo f. 8 est om. c. || obnoxia principiis c.
9 ipsa a, b, c, d, f, 1, s; vide supra versum quarium ei septi- mum. 10 operis om, c. || ordo operis s. 11 Tiiulum om^ c, d. 12 numerus om. d. 15 Post aegieg&nt- addunt: iaxta subiectas discriptionis formulas r, s. 16 Numeros om, c, d, f.
INST. ARITHM. II, 8.
XV.
xxvm.
De laterihus iriangulorum numerorum.
VIII. Ad hunc modum inflnita progressio est, omnes- que ex ordine trianguli aequilateri procreabuntur, pri- mum omnium ponenti quod ex unitate nascitur ut haec vi ^ ^iia triangulus sit, non tamen etiam opere atque actu. Nam si cunctorum mater est numerorum, quicquid in bis, quae ab ea nascuntur, numeris invenitur, necesse est ut ipsa naturali quadam potestate contineatr^ Et huius triangnli latus est unitas. Ternarius vero, qui primus lo est opere et actu ipso triangulus, crescente unitate bina- rium numerum latus babebit. Vi enim et potestate primi trianguli, id est unitatis, unitas latus est, actu vero et opere trianguli primi, id est ternarii, dualitas, quam Graeci dyada vocanl. Secundi vero trianguli, qui opere is atque actu secundus est, id est senarii, crescente oaturali numero in lateribus ternarius invenitur; ter- tii vero, id est denarii, quaternarius latus continet;