,, israntur, ut «VIIL jel •XIIII- Habet enim octonarius par-
tem mediam, id est -1111*, habet et quartam, id est -II-,
et octavam, id est I- quae cunctae in unum redactae •VII>
colligunt, minorem sciiicet summam toto corpore con-
cludentes. Rursus •XIIIL habent medielatem, id est
20 septenarium , habent septimam, id est -II-, habent
quartam decimam, id est 'I* quae in unum si colledae
sint, denarii numeri summa succrescit, toto scilicet ter-
mino minor.
Atque hi quidem hoc modo sunt, ut prior ille, quem
25 suae partes superant, talis videatur, tamquam si quis
multis super naturam manibus natus, ut centimanus gigas
vel triplici coniunctus corpore, ut Geryo tergeminus, vel
quicquid unquam monslruosum naturae in partium mul-
1 .XIL et .XXini. a, b. 2 in suis f. 4 tertia] m. d. 6 duo c, f. [[ pars om, d, 1. H 'XII- c, r. || unum c, f. '( omnisque] Omnis d, f, 1. 6 sedecim a, d, 1, r. 7 vice- simi quarti s. 8 qnatuor f. || duo f. || 'XXIIII' f. 11 idem d. 12 cuius] quoniam f. 16 mediam partem d. || quartam} •IIII. c. 20 septimam] -VII. f. 21 .XIIII. c, f. U in unum si om, c. II coUecta a, d, f, s; collectae, correctum in col- lecta r. 22 numeri om, b, 1. jj concrescit f.' 26 Post centimanus addunt egeon r, s. [] gigans r, gigans, n indueto , a. 27 iunctus c, r. || ut inductum a. 28 monstrosum c, d; monstrosum et supra versum monstruosum b , monstrosum , su~ pra o y addiio 1. || natura f.
INSTe ARITHM. I, 20. 41
tipiicatioiie subripuit; ille vero, ut si naturaliter quadam v. c Decessaria parte detracta aut minus oculo nasceretur, ut Cyclopeae frontis dedecus fuit, vel quo alio curtatus membro naturale totius suae plenitudinis dispendium sor-^ tiretur. 5
Inter hos autem velut inter inaequales intemperan-^ ^c^ tias medii temperamentum limitis sortitus est ille nume- rus, qui perfectus dicitur, virtutis sciiicet aemulator, qui nec supervacua progressione porrigitur, nec contracta rursus deminutione remiltitur, sed medietatis obtinens 10 terminum suis aequus partibus nec crassatur abundantia, nec eget inopia, ut •¥!• vel •XXVIII- Namque senarius habet partem mediam, id est III-, et tertiam, id est •II- et sextam, id est -I* quae in unam summam si redactae sint par totum numeri corpus suis partibus in- 15 venilur -XXVIII- vero babet medietatem -XIIII- et septi- mam •IIII- nec caret quarta , id est 'VII- , possidet quar- taro decimam -II- et repperies in eo vicesimam octavam •I', quae in unum redactae totum partibus corpus aequa- bunt. -XXVIII- enim iunctae partes efficient. 20
Le generMone numeri perfecti»
XX. Est autem in his quoque magna similitudo vir- tutis et vitii. Perfectos enim numeros rarenter invenies, eosque facUe numerabiles, quippe qui pauci sint et nimis constanti ordine procreati. At vero superfluos ac demi- 25
1 61 om. c. 2 nascerentur, altero n inducto, a; nasce- rentur, altero n rasura deleio^ d; nascerent, altero n ex" puncto, r. 3 cicoplee f. {| Posi dedecas d habet: deformati.
4 suae om, f. 6 aequales a, b, f. 8 emulator f, r, s. 11 aequis a, b, c, r. || grassatur a, b, c, d, r. H habun- dantia c, d, f. 13 mediam partem f. 14 duo f. | unum f. 15 redacta b, redacti c. || per a, r, s. || post partibus in mrgine aequalis a. 16 medietatem et septimam •IIII- Xnn- c. 17 qnarta] -Iin- d. || septem d. || -Xllir- c. 18 ea a, b, d, r, s. 19 redacta a, b, c, d, 1, r, s. || corpus om, c. 20 efficiunt s. 21 Tittdua in margine legitur in d. 23 rorftnter correctum in rarenter a. 24 sunt. f, r, .s.
42 INST. ARITHM. I, 20.
nutos loDge multos infinilosque repperies, nec ulBs ordi-
nibus passim inordinateque dispositos et a nullo certo
fine generatos. Sunt autem perfecti numeri intra dena-
rium numerum -VL intra centenariam •XXVIII* intra mil-
5 lenarium • CCCCXCVI • inlra decem milia • Vffl • CXXVIII.
Et semper hi numeri duobus paribus terminantur , -VI- et
rVIU* , et semper alternatlm in hos numeros summarnm
' ilne provenienl. Nam et primum -VI- , inde •XXVIII- post hos -CCCC-XCVI* idem senarins, qui primus, post quem
10 . VIII- CXX VIII- idem octonarius, qui secundus.
Generatio autem procrealioque eorum est fixa firma-
que, ne quo alio modo fieri possint, nec ut si hoc modo
fiant, aliud quiddam ullo modo valeat procreari. Dispo-
sitos enim ab uno omnes pariter pares numeros in ordi-
i5nem quousque volueris, primo secundum adgregabis, et
si primus numerus et incompositus ex illa coacervatione
faclus sit, lotam summam in illum multiplicabis» quem
posterius adgregaveras. Si vero coacervatione facla pri-
mus inventus non fuerit, sed compositus et secundus, hunc
20 transgredere, atque alium, qui sequitur, adgregabis. Si
vero nec dum fuerit primus et incompositus, alium rur-
sus adiunge et vide , quid fiat. Quod «si primum incom-
positumque repperies, tunc in ultimae multitudinem sum-
mae coacervationem multiplicabis. Disponantur enim
25 omnes pariter pares numeri hoc modo:
I. II. IIIl. VUI. XVI. XXXII. LXUII. CXXVIII.
Facies ergo ita. Pones -I- eique adgregabis -11- Tunc respicias ex hac adgregatione qui numerus factus sit.
2 a om, a, r. 3 geratos a. 4 nQmerum om, d, f 5 X' milia c. 6 daabas partibas a, c, s; daobos parti- bas r. 8 fine pervenient a, fine perveniunt f, fines per- yenient c, s. fl s®^ ^^ h, f, 1, r, s. || deinde f, s; inde, de ex c&rr, addito r. 12 nec quo a, b, c, r, s. neq. ei supra versum ao r. || sit, t inducto, a. 18 primus] supra versum et incompositas a, b, d, r. 19 sed et s. || secun- dos et conpositas c, f. s. 20 adseqaitar a. 22 innge a. 28 maltitndine a, c, r. 26 pares pariter d. 27 anom f. | dao f. II tam d, r. 28 respicis a, d; respicies f.
Inst. Arithm. I, 20. 43
Inde •III- qui scilicet primus et iocoinpositus est; et post uoitatem ultimum binarium numerum adgregaveras. Si igitur ternarium^ id est qui ex coacervatione coUectus est, * per bioarium multiplices, qui est uitimus adgregalus, per- fectus sine ulla dubitatione nascetur. Bis enim -Uh •VI* 5 faciunt, qui habet unam quidem a se denominatam par- tem, id est sextara, -III* vero medietatem secundum dua- iitatem , at vero •11* secuadum coacervationem , id est se- cundum teroarium, quoniam coacervati •III- muitiplicati sunt. -XXVUI- autem eodem modo nascuntur. Si enim lo super -I- et *II-, qui suot -III- addas sequentem pariter parem, id est '1111-, septenariam facies summam. Sed ultimum numerum quaiernarium consequenter adiunxe- ras. Per liunc igitur si itlam coacervationem multiplica- Teris, perfectus numerus procreatur. Septies enim •IIII- 15 •XXVIII- sunt, qui est suis partibus par, habens -I- a se iienominatum , id est vicesimum octavum, medietatem vero secundum binarium •XIIII- , secundum quaternarium Vir , septimum vero secundum septenarium -IIII-, secun- dum omnium collectionem quartum decimum -11-, qui so vocabulo medietatis obponitur. Ergo cum hi reperti sint, «i alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut
1 inde correctum in id est a; inde fiunt b, c, 1; sunt d) f; sunt inde r; inde sunt s. || tres d. 6 tres d, f.
6 habent a, b , c, 1, r, s. 7 •¥!• f. || tres c, f. 8 duo a, i>, c, 1, r, 8. 9 coacervatim b, c, 1. || tres d. 10 suntj w margine addita est in d haec figura:
I Ii
tl unum c. 12 summam facies a, c, s. 16 snisper a. ||
^m f. y ad a, b. 17 denominatam f, 1, s. || XXVIII- f. vieesimam octavam s. 19 aeptimum vero om, b, I, r; se- ptimam vero f , s ; septimo vero correcium in septimum vero a. 20 collectionam a. || quartam decimam f, s. || duo a, b, f, ^ f) s. 22 eodem r. [{ ut om. d, supra versum r.
44 INST. ARITHM. I, 20.
vestiges. Ponas enim •!• licebit, et post hunc •II* et •1111% qui in septenariuoi cumulantur. Sed de hoc dndum
* exstitit •XXVIII* perfectus numerus. Huic igitur qui se- quitur pariter par id est •VIll-, continens iungatur acces- 5 sio, qui prioribus superveniens «XV^ restituet. Sed bic primus et incompositus non est, habet enim generis aite- rius partem super iiiam, quae est a se ipsa denominata, quintam decimam sciiicet unitatem. Hunc igitur, quo- niam secundus est et compositus, praeterito et adiunge
10 superioribus continentem pariter parem numerum , id est
•XVI-, qui cum 'XV^ iunctus, unum ac triginta conficiet.
Sed hic primus rursus et incompositus est. Hunc igitur
cum extremi adgregati summa multiplica, ut fiant sede-
cies •XXXI-, qui •€€€€• XCVI- explicant. Haec autem
15 est intra miilenarium numerum perfecta et suis partibus aequa numerositas. Igitur prima unitas virtute atque po- tentia non etiam actu vel opere et ipsa perfecta est. Nam si primam ipsam sumpsero de proposito ordine numerorum, video primam atque incompositam , quam si per se ipsam
1 investiges s. |{ Pones a, s. || unum f. || liquebit c, liqaebit correctum in licebit a. [| duo f. || et om, r; cui adicies f . 3 numerus] In d addita est in margine haec jfigura
Xxviu^
I Ii Iiii
4 pari a, paris r. || continens iungatur accessio in margine Utteris aliquot resectis a» in contextu est litura quattuor versuum.
5 qui om c. || X et quinque a, r; quindecim b. || restituit a, d, f, r, 8. 7 ipso f. 11 -XXX- c, f. || conficiat corrc- ctum in conficiet a. 12 •!•"«« f. U rursus <m. f. 16 nu- merositas] In margine in/eriore addita est in d haec figura:
17 non iam a, b, c. || opere] re b, f, 1; re correctum in
opere a; re et supra versum ope d. 19 primum atque in-
conpositum b, d, I. || et s.
In8t. Aeithm. I, 21. 45
mulUidico, eadeiD mihi unitas procreatur. Semei enim •I- solam efficit unitatem, quae partibus suis aequalis est potentia solum, ceteris etiam actu atque opere perfectis. Recte igitur unitas propria virtute perfecta est, quod et prima est et incomposita et per se ipsam muitiplicata sese ^ ipsam conservat.
Sed quoniam de ea quantitate, quae per se iit, dictum
est, operis sequentiam ad iilam» quae refertur ad aiiquid,
transferamus.
De relata ad aliquid quaniitate. lo
XXI. Ad aliquid [reiatae] vero quantitatis duplex est prima divisio. Omne enim aut aequaie est aut inaequale, quicquid alterius comparatione metimur. £t aequale qui- dem esty quod ad aliquid comparatum neque minore summa iDfra est, neque maiore transgreditur, ut denarius dena- 15 rio vei ternarius ternario vei cubitum cubito vel pes pedi et his similia. Haec autem pars relatae ad ahquid quan- Ulatis, id est aequalitas, naturaliter indivisa est. Nullus eoim potest dicere, quod aequalitatis hoc quidem tale est, illud vero huiusmodi. Omnis enim aequaiitas unam ser- 20 vat in propria moderatione mensuram. Iliud etiam, quod, quae ei quantitas comparatur, non alio vocabuio atque ipsa, cui comparatur, edicitur. Nam quemadmodum amicus amico amicus est, vicinusque vicino [vicinus], ita dicilur aequalis aequali [aequalis]. 25
Inaequalis vero quantitatis gemina divisio est. Seca-
tur enim quod inaequale est in maius atque minus, quae
contraria sibimet denominatione funguntur^. Namque maius ^
minore maius est et minus maiore minus est, et utraque
non eisdem vocabulis, quemadmodum secundum aequaii- 3o
2 nnam f. 6 ipsa a, s; ipsam, m expunclo, r. 8 se- qnentia a. 10 Inscriptioni addii s: Secundum thema inci- pit. 13 metitiir a, b, c, 1. 19 dicere potest a, c, f, s. 20 eniin om. c, r. 21 Illud vero r. |{ quod quae] quo f. 26 quantitatis vero c, s. 28 fingnntar a, r; fingaatar, i in u mutato, d. — Quae uncis indusi om, c&dd.
46 INST. ARITHM. I, 22. 23.
tatem dictum est, sed diTersis distantibusque signata sunt, ad modum discentis scilicet vel docentis vel caedentis ve) vapulantis vel quaecunque ad aliquid relata aHter deno* minatis contrariis comparantur.
5 De speciebus maioris quantitatis et minoris.
XXII. Maioris vero inaequalitatis •¥• sunt partes. Est
enim una, quae vocatur multiplex, alia superparticuia'
ris, tertia superpartiens, quarta multiplex superparticuia-
ris, quinta multiplex superpartiens. His igitur quinque
10 maioris partibus obpositae sunt aliae quinque partes mi- noris, quemadmodum ipsum maius minori semper obpo- nitur, quae minoris species ita stngillatim speciebus quin- que maioris his, quae supra dictae sunt, obponuntur, ut eisdem nominibus nuncupentur, soia tantum sub praepo-
15 sitione distantes. Dicitur enim submultiplex, subsuper-
particularis, subsuperpartiens, submultiplex superparti-
cularis et submultiplex superpartiens.
De multiplici eiusque speciebus earumque generationibtes.
XXIII. Rursus multiplex est prima pars maioris in-
20 aequalitatis cunctis aliis antiquior naturaque praestantior,
ut pauio post demonstrabitur. Hic autem buius modi est,
ut comparatus cum altero iilum, contra quem coroparatus
est, habeat plus quam semel; quod primum in naturalis