15 suam quantitatem id est per ternarium. Ternarius enim numerus tertio •VIIII- metitur. Si autem post novena- rium duos reliquero, qui mihi post illos incurrerit, a primo metiendus est per secundi inparis quantitatem, id est per quinarium. Nam si post •VIIIL duos relinquam, > 20 id est XI- et XIIL ternarius numerus -XV- metietur per secundi numeri quantitatem, id est per quinarii, quoniam ternarius •XV- quinquies metitur. Rursus si a quindena- rio inchoans duos intermisero, qui posterior positus est, eius primus numerus mensura est per tertii inparis plu-
25 raiitatem. Nam si post XV^ intermisero -XVII* et •XVUIL,
iocurrit •XXI- , quem ternarius numerus secunduoi septe-
narium metitur. -XXI- enim numeri ternariu^septima pars
est, atque ideo boc in infinitum faciens repperio primum
numerum, si binos intermiserit, omnes sequentes posse
30 metiri secundum quantitatem positorum ordine inparium numerorum.
1 XLVini- addit b, XLVIIIL LI. f. 2 consideran- dum est f, 1; est supra versum habei b. 6 Bunt c, f. sunt rasura in sint mutaium r. .11 supra vulgo: est b. 13 me- titur .... suam quantitatem om, f. 22 metietur a. || qni- nano c^ r. 26 vicesimus unus a, S| vicesimus -I- c, yi- ginti unus b, d. 27 vicesimi enim primi f, vicesimi primi enim s. 28 ideo expunxit b. 29 intermiseris a, f. Q post se a, b, c, s.
\vi.
Inst. Arithm. I, 17. 35
Sin vero quinarius nirmerus, qui tn secundo ioco est constitutus, yelit quis, cuius prima ac deinceps mensura sit, invenire, transmissis • IIII • inparibus quintus ei, quem metiri possit, occurrit. Intermittantur enim •IIII* inpa-^ ^ res, id est VII- et ¥1111. et •XI- et XIII. Post hos 5 estXV', quem quinarius metitur secundum primi sci- licet quantitatem id est ternarii. -¥• enim -XV* tertio me- titur. Ac deinceps^si quattuor intermittat, eum, qui post Dlos toeatus est secundns, id est quinarius, sui quantitate metilur. Nam posl -XV. intermissis -XVII. et . XVIIII. et) lo^ •XXI. et 'XXIII- post eos .XXV- repperio, quos quinarius sci.^ licet numerus sua piuralitate metiiur. Quinquies enim qninario multiplicato .XXV. succrescunt. Si vero post iiunc quilibet .IIII. intermittat, eadem ordinis servata constantia, qui eos sequitur, secundum tertii, id est septe- 15 narii numeri, summam a quinario metietur; atque liaec est infinita progressio.
Si vero tertius numerus quem metiri possit, exquiri- tur, sex in medio relinquentur , et quem septimum ordo moDstraverit, hic per primi numeri, id est lemarii, quan- 20 titatem metiendus est; et post illum sex aliis interpositis, quem post eos numerum series dabit, per quinarium, id est per secundum, tertii eum mensura percurret. Sin vero alios rursus sex in medio quis relinquat, ilie, qui sequitur, per septenarium numerum ab eodem septenario 85 metiendus est id est per tertii quantitatem ; atque hic us- que in extremum ratus ordo progreditur.
Suscipiant ergo metiendi vicissitudinem quemadmo-
dum sunt in ordinem naturaiiter inpares constituti. Me-
tientur autem, si per pares numeros a binario inchoantes 30
3 quattuor d, quatuor f. 4 quatuor b, f, quattuor d.
7 XV- enim .V- a, V- enixn quindecim b, d. 8 quatuor f. nil. c. 10 quindecim b, d. 14 quatuor b, f, quattuor d.
16 ntimeri om, c. || quinario numero f, 1. |1 metitur c, d,
1* r. 17 in infinita f. |{ processio a, r. 22 numerum
ow. s. numeri a, b, c, d, r; series numeri 1. 23 prae-
ciirret correcium in percurret a, percurrat r. || Si d, 1, r.
24 VL d. 26 hic om. c. 27 rectus c. 28 Suscipient *» d, f, 1.
36 INST. ARITHM. I, 17.
positos inter se inpares rata intermissione transsiliant, ut
primus duo, secundus •llll*, terlius «Vl* quartus •VIII-
quintus -X^, vel si locos suos condupiicent el secundum
duplicationem terminos intermittant, ut ternarius qui pri-
5 mus est numerus et unus — omnis «nim primus unus esl
— bis locum suum multiplicet faciatque bis unuro; qui
^cum «II* sint, primus «II- medios transeat. Rursus se-
cundus, id est quiharius, si locum suum duplicet, •IIII-
explicabit, hic quoque uti •IIII* intermittat. Item si
^ 10 septenarius, qui tertius est, locum suum duplicet, sex
;,, creabit. Bis enim -III- senarium iungunt. Hic ergo in
ordinem 'VI* relinquat. Quartus quoque si iocum suum
duplicet, *VIII* succrescent. Ille quoque octo transsiliat.
^ Atque hoc quidem in ceteris perspiciendum.
15 Modum autem mensionis secundum ordinem conloca-
' torum ipsa series dabit. Nam primus primum quem nu-
merat, secundum primum numerat, id est secundum se;
et secundum primus quem numerat, per secundum
numerat, et tertium per tertium et quartum item per
20 quartum. Cum autem secundus mensionem susceperit;
^ primum quem numerat, secundum primum metitur, se-
cundum vero quem numerat, per se, id est per secun-
dum, et tertium per tertium, et in ceteris eadem simi-
- vlitudine mensura constabit. /vAlios ergo si respicias vel
25 qui alios raensi sunt, vel qui ipsi ab aliis metiuntur, in-
venies oronium simul commuoem mensuram esse non
posse, neque ut omnes quemquam alium simul nume-
rent; quosdam autem ex his ab alio posse metiri, ita ut
ab uno tantum numerentur; alios vero, ut etiam a pluri-
1 — 2 termissione . . . quartus •VIII- om, c. 2 quattuor dy quatuor f. || sex . . . octo . . . decem d, f. 4 inter- mittunt a. s. 6 duplicet f. 7 duo d, f, s. || sunt f. || duos d, f, r, s. 8 quattuor d. 9 uti om, f, rasura de- letum 1. II interminat et supra versum intermittat r. 10 «VI- f • 11 tres c, d, f. 12 sex c, d. 13 octo d. 14 prospi- ciendum a, perspiciendum est f. 15 ordinem om, c. 19 ter- tius a. II quartum correctum in quartus a. || per •IIII' c. 25 ipsi om, 1, rasura deletum d. 28 autem om, c. 29 post pluribus addunt numerentur d, 1.
Inst. Arithm. I, 18. 37
bus; quosdam autem, ut praeter unitatem eorum nuUa mensura sit. Qui ergo nullam mensuram praeter unita- tem recipiunt, hos primos et incompositos iudicamus, qui yero aliquam mensuram praeter unitatem vel alieni- genae partis vocabulum sortiuntur, eos pronuntiemus se- 5 cundos atque compositos. Tertium vero illud genus per se secundi et composlti , primi vero et incompositi ad alter- utrum comparati, hac inquisitor ratione, repperiet. Si enim quoslibet iiios numeros secundum suam in semet ipsos multiplices quantitatem / qui procreantur , ad alter- lo utrum comparati nulla mensurae communione iunguntur. •III» enim et -V* si multiplices, -llh tertio •Villl» facient, et quinquies 'V» reddent •XXV» His igitur nulla est commu- nis mensurae cognatio. Rursus 'V- et -VII- quos procreant^ ' si compares, hi quoque incommensurabiles erunt. Quin-:i5 quies enim «V-, ut dictum est, -XXV-, septies -VIL faciunt •XLVIIII-, quorum mensura nuUa communis est, nisi forte omnium horum procreatrix et mater unitas. -^
Be inventione eorum numerorum, qui ad se secundi et com- positi suni^ ad aiios vero relati primi et incompositi. 20
XVIII. Qua vero ratione tales numeros invenire pos-
simus, si quis nobis eosdem proponat et imperet agno-
scere, utrum aliqua mensura commensurabiles sint, an
certe sola unitas utrosque metiatur , repperiendi ars talis
est. Datis enim duobus numeris inaequalibus, auferre25it
de maiore minorem oportebit, et qui relictus fuerit, si
maior est, auferre ex eo rursus minorem , si vero minor
fuerit, eum ex reliquo maiore detrahere atque hoc eo
8 comparati om» c. |{ hanc insequitor rationem reperiet
^t supra versum: hac inqaisltor ratione reperies r. || ante repperiet addit s: nollam mensurae rationem et supra versum subaudi per. || repperies d, 1. 12 Tres c, f. f| quinque a, 1, r, s. II tres b, d, f. || tertio. •IIL c. jj faciunt a, f; facient, e in Hiura, r. 13 reddunt f. || communionis a. U quinque a, 1, r, s. || septem d, f. 16 quinque a, b, 1) r. 11 septem a, b, d, 1, r, s. || faciunt om, c. 19 7Y- Mus in margine legitur in d. 22 nobis om. c.
38 INST. ARITHM. I, 18.
usque faciendum , quoad unitas ultima vicem retractionis inpediat, aut aliquis numerus, inpar necessario, si utri- que numeri inpares proponantur; sed eum, qui relinqui- tur, numeruro sibi ipsi videbis aequalem. Ergo si in 5 unum incurrat yicissim ista subtractio, priml contra se necessario numeri dicentur^ et nulla alia mensura nisi sola unitate coniuncti.' Si vero ad aliquem numerum, ut su- perius dictum est, finis deminutionis incurrerit, efit nu- merus, qui metiatur utrasque summas, atque eundem
loipsum» qui remanserit, dicemus utrorumque communem esse mensuram.
Age enim duos numeros propositos habeamus, quos
iubeamur agnoscere, an eos aliqua communis mensura
metiatur; atque hi sint •VIIII« scilicet et •XXVIUl' Hoc
15 igitur modo faciemus reciprocam deminutionem. Aufera-
mus de maiore minorem, hoc est de •XXVIIII- novena-
rium, reiinquentur -XX- Ex bis ergo -XX* rursus mino-
rem detrahamus, id est •Vllil* et reiinquentur -Xl- Ex
his rursus detraho •VIIII-, relicti sunt -11. Quos si de-
sotraho novenario, reliqui sunt •VII*; quos si duo rursus
septenario dempserim, supersunt *V* , atque ex his alios
duos, •IIL rursus exuberant, quos alio binario deminutos
sola unitas superstes egreditur. Rursus si ex duobus
unum auferam in uno terminus detractionis haerebit,
25quem duorum iilorum numerorum, id est •Vllll- et
1 quoad in litura b. d; qnoad et supra versum usque s; quo et correcium in quo vel a. 2 8i om, c. 4 videbis ipsi sibi f. || Erg^o qui f. |] in om, c. 5 primi et incon- positi f, 8. 8 ille erit 1; erit et supra versum ille d; erit ipse s. 9 metitur d, l. || utrasque in margine s. 10 utrum> que a. [] esse communem f. 12 Age autem f. 13 men- sura commaniB a, b. 14 metietur f. || sunt c, f, 1, r, s. ({ et om. f. 15 denominationem et supra versum deminutio-
nem r. || Auferemus f, r. 16 de om, c. 18 detrahemus a, d, f , r, 8. 19 duo d. 20 quoB si] coniecerim quod fii. II duo8 f, •II* c, r. 22 IL c. || tres c, f. || rorsum a, b, c, d, f, 1, r. || ezsuperant s. || alios d, 1; alio om. f. |{ aHo binario deminutos} si dempserim binario b. 23 egre- diatur r. 24 herebit c, d, f, r, s. 26 illorum duo-
rum f .
Inst. Arithm. I, 19. 39
«XXVUII* solam neqiie aliani constat esse mensuraai. Hos ergo contra se prmos Tocabimus.
Sed sint alii numeri nobis eadein condlcione propo- siti, id est «XXI* et •VIIII-, ut quales hi sint investigentur, c\m sibimet fuerint invicem comparatt. Rursus aufero 5 de maiore minoris numeri quantitatem , id est •Vlllf • de •XXI-, reliiHprantur *X1I* Ex his rursus demo •Yini*, su- persunt •III* Qui si es novenario detrahantur, senarius relinquetur. Quibus item si quis ternarium demat , •III- relinqaentur , de quibiis •111« detrahi nequeunt, atque hic lo est sibi ipsi aequalis. Nam -111-, qui detrabel)antur, us- que ad ternarium numerum pervenerunt, a quo quoniam aequales sufit, delrahi minuique non poterunt. Hos igi- tur commensurabiles pronuntiabhnus et est eorum , qui est reltquus, terBarius mensura commmiis. i5
Alia partiiio paris secundum perfectos^ inperfectos et
ulira quam perfecios.
XVUH. {\c de inparibus numeris ouantum introductio- nis permittebat brevitas expeditum est/ Rursus numerorum parium sic fit secunda divisio. Alii enim eorum sant super- 20 flui, alii deminuti secundum utrasque habitudines inae- - qualitatis. Omnis quippe inaequalttas aut in maioribus aut in mtn(H*ibus consideratur^ niili enim inmoderata quo- ^'^ <laimno^ plenitudine proprii corporis modum partium''^^^ "^' suarum nmmerosttate praecedunt;^ illos autem velut pau- 25 pertate inopes oppressosqae quadam naturae suae inopia ^^^ ' miDor, quam ipsi sunt, partium summa componit.^ ^Atque ^fw; r illi quidem, quorum partes ultra quam satis est sese por-
1 solum a, d, f, 1, r. || alium d, f, l, r. 3 ali- qui d, f, l. fl conditione c, f, 1, r, s. 4 sunt c, r, s. 7 relinqaantar c, relinquentur f, s. 8 tres f. || retrahan- tnr f , 9 Qui^us item . . . -III- relinquentur om. c. 10 re- linquuntur b, d, f, 1, r. || tres detrahi c. H nequeant a. U tres d, f. 15 reliquus est a, c, s. 16 Titidum in mar- dine Jiabet d. 17 plus quam f. 18 Hoc f. 20 sunt eo- ntm a, e, f. 25 procedunt a. 27 minori a. 28 utramq. «' supra versum ultra quam r.
40 INST. ARITHM. I, 19.
rexerint, superfiui nomiDantur, ut sunt -XII* vei •XXIIII- Hi enim suis partibus comparati maiorem partium sum- mam tolo corpore sortiuntur. Est enim duodenarii me- dietas •VI* pars tertia •IIII- pars quarta •III- pars sexta 5 -IL pars duodecima •!• omnisque hic cumulus redundat in •XVI- et totius corporis sui mullitudinem vincunt. Rur- sus •XXIIII* numeri medietas est •XU^, tertia 'VIIL, quarta •VI-, sexta •IIII', octava •III'. duodecima Ih, Ticesima quarta •!• , qui omnes •XXX^ et -VI* rependunt. In qua
10 re manifestum est, quod summa partium maior est et
tsupra proprium corpus exundat. Atque hic quidem,
c 7 ^ius compositae partes totius summam numeri vincunt, «
superfluus appeiiatur, deminutus veroiile, cuius eodem
modo compositae partes totius termini multitudine supe-