tremitates [vel una medietate duae duplices extremitatcs. In longitudine vero pariter paris numeri rem proprieta- temque designat. Quod enim sub duabus medietatibus continetur, aequale est ei, quod sub extremis conficitur»
5 vel quod ab una medietate naseitur, aequale est illi, quod sub utrisque extremitatibus continetur. Descriptio autem, quae subposita est» hoc modo facta est: quantoscunque in ordine pariter parium numerorum ternarius numerus multipiicavit, quicunque ex eo procreati sunt, primo sunt
loversu dispositi; rursus qui eosdem multiplicante quinario natisunt, secundo loco sunt constituti, post vero, quos septenarius ceteros mulUplicando procreavit, eosdem ter- tio conscripsimus loco, atque idem ii) reliqua descriptio* nis parte perfecimus. *
15 m. V. vii. viiii.
im. vm. xvi. XXXII.
(Fide descriptionem in tabula seorsum addita.)
Descripiionis ad inpariier paris naiuram periinentis [ex-
positio,
20 XII. Superius igitur digestae descriptionis haec ratio est: Si ad latitudinem respicias, ubi est duorum termino- rum una medietas, ipsosque terminos iungas, duplos eos medietate propria repperies, ut 'XXXVI- et -XX* faciunt •LVI-, quorum medietas est •XXVIII*, quimediusest inter
25 eos terminus constitutus. Et rursus -XXVm* et -XII- si iungas, faciunt -XL-, quorum XX* medietas medius eorum
1 uni medietati a, b, c, 1. 2 in longitadinem s, c,
r, s. 3 designet r, designat et supra a secunda manu en a. 4 est om, d. 1. |{ extimis d, 1. 9 multiplicabit a , b , c, f.
10 yersu sunt f. 12 multiplicari d, multiplicans et supra 3 i do r. II procreabit c, procreavit, v correcto in b, a. 13 coiucribimtts b , d. || in om, a. 15 et 1& Bos duos ver- sus om, e, s. Figunse arcus in codicihua alUer in aliis
sunt ducii, eiiam numeri varie sunt dispositi, In c desuni inscri- piimes^ Longitudo, Latitndo. 18 Inscript, om^ d, f. || ad in- paxiter paris naturam pertinefktui om. 1 , ubi leguntur superius positae. 20 XII. om, f. jj' igitinr om, c. 23 propria me- dietate r, s. 26 medietas om. f.
Inst. Arithm. E, 12. 29
terminus invenitur. At vero ubi duas medietates liabent, utraeque extremitates iunctae utrisque medietatibus aequales fiunt, ut -WL et -XXXVI-, cum iunxeris, fiunt •XLVIII* Horum si medietates sibimet applicaveris, id est -XX' et •XXVIII- , idem erit. Atque in aiia parte lati- s tudinis eodem ordine qui fiunt numeri notati sunt, neque ulla in re ratio utriusque latitudinis discrepabit; idemque in eodem ordine in ceteris numeris pernotabis; et hoc secundum formam pariter inparis numeri fit, in quo hanc proprietatem esse supra iam dictum est. lo
Rursus si ad longitudinem respicias, ubi duo termini UDam medietatem habent, quod fit ex multiplicatis exlre- mitatibus, hoc fit, si medius terminus suae capiat plurali- tatis augmenta. Nam duodecies -XLVIII. faciunt -DLXXVI- ; medius vero eorum terminus, id est XXIIII- si multipli- 15 cetur, eosdem rursus DLXXVI- procreabit. Et rursus si
XXIffl. in XCVI. multiplicentur, faciunt U. CCC. IIII., quorum medius terminus, id est *XLVIII- si in semet
ipsum ducatur, idem. II. CCC. IIII. procreantm*. Ubi
autem termini duo duas medietates includunt, quod fit2o
multiplicatis extremitatibus, hoc idem redditur^in alter-
utram summam medietatibus ductis. Duodecies enim
•XCVI- multiplicatis I. CLII. procreantur. Duae vero eorura medietates, id est •XXIIII- et •XLVIII- si in semet
ipsas multiplicentur, eosdem I. CLII. restituent. Atque 25 hoc est ad imitationem cognationemque numeri pariter paris, a quo participatione tracta haec ei recognoscitur iDgenerata proprietas. Et in alio vero latere longitudinis
1 dnae medietates babentur f. 4 adplicaris r, appli- caris d, 1, applicabis s. 6 fiant a, c, r. 7 illa inseratio a II illa, i expuncto ei v supra scripio c. || idem quoque ^f 1. 9 fit nuraeri f. 11 Rursum a. 14 aucmenta c. 15 multiplicentur d , 1 , s ; multiplice tur , n rasura deleio r.
17 Post II. CCC, IIII. addit procreantur c, sed ut deleturi mnim agnoscas. 19 deducatur f. || id est c, d; idem om. f; w 1 est litura, jj duo CCC. IIIL d. 20 duo termini b, d, 1, r. 1' duas om, d, 1. 26 est om, d, h \\ cognitionemque f.
numeri om. c.
30 INST, ARITHM. I, 13. 14.
eadem ratio descriptioque not^ta est. Quare manifestum
est, hunc numerum ex prioribus duobus esse^procreatum^
quoniam eorum retinet proprietates.
Be numero inpari eiusque divisione.
5 XIII. Inpar quoque numerus, qui a paris numeri na- tura substantiaque disiunctus est, — si quidem iile in gemina aequa dividi potest, hic ne secari queat, unitatis inpedit intervenlus, — tres habet simililer subdivisiones, quarum una eius pars est is numerus, qui vocalur primus 10 et incompositus, secunda vero, qui est secundus et com- posilus, et tertia is, qui quadam horum medietate con- iunctus est et ab utriusque cognatione aiiquid naturaliter trahit, qui est per se quidem secundus et compositus, sed ad alios comparatus primus et incompositus invenitur.
15 De primo et incomposito,
XIIII. Et primus quidem et incompositus est, qui nul- lam aliam partem habet nisi eam, quae a tota numeri quantitate denominata sit, ut ipsa pars non sit nisi unitas, ut sunt III. V. VII. XI. XIU. XVII. XVIIII. XXHI. XXVIIIi;
20 XXXI. In his ergo singulis nulia unquam alia pars inve- nietur, nisi quae ab ipsis denominata est, et ipsa tantum unitas, ut supra iam dictum est. In tribus enim una pars sola est, id est tertia, quae a tribus scilicet denominata est, et ipsa tertia pars unitas; eodemque modo quinarii
25 sola quinta pars est et haec unitas, ^btque idem in singulis
consequens repperietur. Dicitur autem primus et incom-
positus, quod nullus eum alter numerus me^iatur praeter
solam, quae cunctis mater est, unitatem. i^Namqueter-
1 scriptioque b. 3 proprietas c. 4 numero om, d, 1. 6 •XIIIL d. 8 .IIL c. 11 et] sed d, f , 1. 12 naturaliter aliqnid f. 13 sed et alios c. 15 Inscript. om, d. [[ pro- prio correcium in primo a. 17 partem aliam d, 1. || partem supra versum f. 19 XVim- XXIII- om, c. \\ XXIII. XXVII- •XXVira. XXXI. a. 21 tamen c. 23 III. c. 24 m- c. 25 idem om, 1. || in om, c, d; sitpra versum 1, s.
Inst. Abithm. I, 15. 31
narium •U* non numerant, idcirco, quoniam si solos duos contra •III- compares, pauciores sunt, sin vero bina- rium bis facias, amplior est tribus, cum crescit in •IIII* Metitur autem numerus numerum, quotiens vel semei vel bis vel tertio vei quotienslibet numerus ad numerum 5 comparatus neque deminula ''summa neque aucta ad com- parati numeri terminum usque pervenerit, ut 'II- si ad •VI- compares, binarius numerus senarium tertio metie- [\iO Primos ergo et incompositos nullus numerus me- tietur praeter unitatem solam, quoniam ex nullis aliis nu- lo meris compositi sunt, sed tantum ex unitatibus in semet ipsis auctis multiplicatisque procreantur. Ter enim unus 111- et quinquies unus -V- et septies unus -VII- fecerunt, et alii quidem, quos supra descripsimus, eodem modo nascuntur. Hi aulem in semet ipsos multiplicati faciunt n alios numeros velut primi, eosque primam rerum sub- stantiam vimque sortitos cunctorum a se procreatorum velutquaedam elementa repperies, quia sciiicet incompo- siti sunt et simplici generatione formati atque in eos umnes, quicunque ex his prolati sunt numeri, resol- 20 Yuntur, ipsi vero neque ex aliis producuntur neque in alios reducuntur.
De secundo et composiio,
XV. Secundus vero et compositus et ipse quidem in- par est, propterea quod eadem inparis proprietate forma- 25 tus est, sed nuUam in se retinet substantiam principalem compositusque est ex aliis numeris habetque partes et a se ipso et ab alieno vocabuio denominatas; sed a se ipso denominatam partem solam semper in his repperies uni- tatem , ab alieno vero vocabulo vel unam vel quotlibet 30
1 duo f. 2 tres f. 3 qiiattuor d, f. 7 provenit a, c, d) i. II duo f. 8 metitur f. 13 tres f. || quinque f. U alios c. 16 prima a. 17 a se om. c. 18 scilicet et a, b, f. 22 alia a, b, d, f, 1. || recluduntur c. 26 quia c. 28—30 denominatas .... vocabulo in margine superiore r. 29 reperio b. 30 alterum vel om. c. || quodlibet c , d , r.
32 INST. ARITHM. I, 16.
alias, quanti roerint scilicet numeri quibns ille compositis
procreatur, ut sunt hi: VIIII. XV. XXI. XXV. XXVH.
XXXIIl. ^XXXVllII. Horum ergo singuli habent quidem
a se denominatas partes proprias, scilicet unitates, iit
5 •VIIII- Donam , id est unum , -XV- quintam decimain
eandem rursus unitatem et in ceteris, quos supra de-
scripsimus, idem convenit.
Habent etiam ab alieno vocabulo partem, ut 'VIUI tertiam , id est ternarium , et -XV- tertiam , id est quinque,
10 et quintam, id est tres; •XXI- vero tertiam 'VHs sq^timam •III* ; et in omnibus aliis eadem consequentia est.
Secundus autem vocatur hic numerus, quoniam non
sola unitate metKur sed etiam alio numero, a quo scilicet
coniunctus est, neque habet quicquam in se principalis
15 inteilegentiae. Nam ex aliis numeris procreatur. •VIIII' quidem ex tribus, -XV* vero ex Iribus et V-, at •XXI- ex tribus et •VII- et ceteri eodem modo. Compositus auteni dicitur eo, quod resolvi potest in eosdem ipsos, a quibus dicitur esse compositus, in eos scilicet, qni compositum
20 numerum metiuntur. Nihil autem, quod dissolvi potest, incompositum est, sed omni rerum necessitatecompositum.
De eo, qui per se secundus et composiius est^ ad alium
primus et incompositus,
XVI. His vero contra se positis, id est primo et in-
25 composito et secundo et composito, et naturali diversitate
disiunctis alius in medio consideratur, qui ipse quideni
1 compositus c, 1. 5 unam d, f, 1, r. 6 eadem a. 9 quindecim c. || -V- c, d, f. 10 III- c, s. || tertiam -Vir et supra versum id est b. |{ et septimam s. 11 tres a, b, d, f, 1, r. 11 in om, a. 13 alio et supra versim l alieuo b. 14 in se quicquam a, s; in se quoddam c. 15 Novem f. 16 et XXI- a, c, f, s. 17 septem d, f. 18 eo om. a, d, 1. 18 — 21 in eosdem .... compositum in margine inferiore r. 20 numerum om. f. || solvi , dis rasura deleio d ; solvi, ontisso dis, 1. 21 est om. c. 22 Inscripiionem in margine hahet secunda manu d. || De his quod f . || ad alium .... incom- positus om. c. II ad alium vero f ; ad alium comparatns r, s. 26 disiunctus c.
Inst. Arithm. I, 17. 33
compositus sit et secundus et alterius recipiens mensionem atque ideo et partis alieni vocabuli capax, sed curo fuerit ad alium eiusdem generis numerum comparatus, nulla cum eo communi mensura coniungitur; nec habebunt partes aequivocas; ul sunt VIIII- ad -XXV- Nulla hos s commonis numerorum mensura metitur, nisi forte unitas, quae omnium numerorum mensura communis est. Et hi quidem non habent aequivocas partes. Nam quae in •VIIII- tertia est, in -XXV- non est, et quae in -XXV- quinta est, in novenario non est. Ergo bi per naturam lo utrique secundi et compositi sunt, comparati vero ad se invicem primi incompositique redduntur , quod utrosque nulla alia mensura metitur, nisi unitas, quae ab utrisque denominata est; nam in novenario nona est, in -XXV* vicesima quinta. 15
I>e primi et incomposiii et secundi et composiii et ad se qiiidem secundi et compositi, ad alterum vero primi et
incompositi procreaiione,
XVII. Generatio autem ipsorum atque ortus liuius- modi investigatione colligitur, quam scilicet Eratosthenes 20 cribrum nominabat, quod cunctis inparibus in medio conlocatis per eam quam tradituri sumus artem, qui primi quive secundi quique tertii generis videantur esse distinguitur. Disponantur enim a ternario numero cuncti in ordinem iipares in quamlibet longissimam porrectio- 25 nem. III. V. VII. VIIII. XI. XUI. XV. XVil. XVIIII.' XXI. XXHI. XXV. XXVII. XXVIIII. XXXI. XXXIII.
1 est f ; sit et supra versum est s. [] mansionem c. 2 ca- pax est s. 4 habebit r. 8 Namque a, 1. 14 nam quae ^ s; qu&e supra versum.sec. m. d; nam que, lineola, qua e w ae mutatur, erasa, 1; nam supra versum^ quae secunda ^nu addito r. 16 Inscriptio in margine legiiur in d. |{ et secundi et compositi om, c, d, 1, r, s; supra versum b. || in- compositi et secundi et om. a. 17 et alterom b. |1 alter- utmm c. II vero om, 1. 21 nominavit f. 22 quam om. a» r; supra versum d. 23 quive tertii. a, c, s. || esse vi- deantur s. 24 distinguuntur r.
Boetius. ^ 3
34 IN8T. AKITHM. I, 17.
Jlxxv. Xxxvu. Xxxviiii. Xli. Xlui. Xlv. Xlvil
His igitur ita ciispositis coiisiderandum, primus nuineru&
~ quem eorum, qui sunt in ordine positi, primum metir»
possit. Sed duobus praeteritis illum, qui post eos est
5positus, mox metitur, et, si post eundemipsum, quem
> mensus est, alii duo transmissi sint, illum qui post duos
est, rursus metitur, et eodem modo, si duos quis relique-
rit, post eos qui est, a primo numero metiendus est;
eodemque modo relictis semper duobus omnes a primo-
10 jn infinitum pergentes metientur.
Sed id non vulgo neque confuse. Nam primus nume-
rus illum, qui est post duos secundum se locatos» per
suam quantitatem metitur. Ternarius enim intermissis
duobus id est -V- et •VII- novenarium metitur , et hoc per