i5.ViIII-, quae inpar est quantitas; tertia vero, quae in- par est denominatio, •VI*, cui par pluralitas est. Rur- sus si convertas, sexla pars, quae par est denomina- tio, «III- sunt, sed ternarius inpar est; et nona pars, quod inpar est vocabulum, JI*, qui par numerus est; atque
20 idem in aliis cunctis, qui sunt pariter inpares, invenitur.
Neque unquam fieri potest, ut, cuiusiibet partis eiusdem
jsit generis nomen et numerus.
Fit autem horum procreatio numerorum, si ab uno disponantur, quicunque duobus differunt, id est omni-
^5 bus inparibus naturali sequentia atque ordine constitutis.
Namque hi si per binarium numerum multiplicentur,
omnes pariter inpares rite pluralitas demensa sufficiet.
'^onatur enim prima unitas -I- et post hunc, qui ab hoc
duobus differt, id est •III* et post hunc, qui rursus a supe-
2 aequas b, d, 1. 3 sectiones b, d, f. 4 ut sunt om. b. |I ante «VI- addii •II- f. 6 incurres s. |1 in inparem om. c. 7 contrariae c, d, f. 11 et si fuerit denominatio d, 1; et si denominatio fuerit f ; si denominatio fuerit s. 12 parj erit par d,^f, 1. 14 eius pars est d, 1; pars eius est. f. Q dimidia f. 15 quantitatis f. 16 sex d, f. || post. •¥!• addit sunt 1;
supra versum a, d, s. J| est om, c. 18 tres a, b, d, 1, r, s. 19 po8t. 'H' addit sunt 1; supra versum d, s. 20 pares c. 21 sit eiusdem a, c, s; sit, eiusdem sit b. 27 efficiet, e expuncto €t su superposito, efficiet s; 1 tn rasura. 29 differt duobus f. tres a, b, d, f , 1, r, s.
Inst. Arithm. I, 10. 23
riore duobus, id est «V-, et hoc in infinUum et sit huius modi dispositio
I. iiL V. VII. viiii. XI. XIII. XV. XVII. xvini.
Hi ergo naturaliter se sequentes inpares sunt, quos nul- lus in medio par numerus distinguit. Hos si per bina- 5 rlum numerum multiplices, efficies hocmodo: bis J- id est •II*, qui dividitur quidem, sed eius partes indivisibiles repperiuntur propter insecabilis unitatis naturam; bis •]n*,bis 'V', bis -VII», bis •VIIII., bis -XI. et deinceps, ex quibus nascuntur hi: II. VI. X. XIIII. XVIII. XXII, lo quos si dividas, unam recipient sectionem ceteram repu- diantes, quod secunda divisio ab inparis medietate partis excluditur.
His autem numeris a se invicem quaternarii sola di- stanlia est; namque inter •II* et «VI* numeros -1111* suntj i5 rursus inter -VI* et X- et inter X* et Xilll-, inter XUll et •XVIII* idem quaternarius diiferentiam facit. Hi nam-/ que omnes quaternaria sese numerositate transcendunt, quod idcirco contingit, quoniam primi qui positi sunt, id est eorum fundamenta, binario se numero praecedebant, 20 quos quoniam per binarium multiplicavimus, in quater- narium numerufai crevit illa progressio; •IL enim per •II* roulliplicati quaternariam faciunt summam. Igitur in na- turalis numeri dispositione pariter inpares numeri quinto loco a se distant, solis •IIII- se praecedunt, «IIL in medio 25 transeuntes, per binarium numerum multiplicatis inpari- bus probreati. Contrariae vero esse dicuntur hae species numerorum, id est pariter par et pariter inpar, quod in
4 sese f. 5 detinet et supra versum disiungit d , disiun-
git 1, distinffuet r. 6 unum d 7 duo d. 9 tres d ||
qniuqne d. y septem d || novem d. 10 duo a, •!• c.
il recipiunt a, d, f, 1, r, s. 12 quia et supra versum i
qnod s. 15 duo a, b, f, 1, r, s. 16 sex a, b, c, d, 1, r, s. 1 inter 'X* et om. c. || et quatuordecim f. || et inter •XIIII- T II inter XIIII- et XVIII- om, d, f, 1. 22 duo enim c, f, s. i per bis b, f, r, s; bis eraso per c, d; bis omisso per 1. 23 facient a, d, f, 1, r. 25 distant et f. Fortasse scrihen- dum est: distantes. 26 supra inparibus supra versum ex f.
27 Contrarie f, r. || haeae ay b, f. he r.
24 INST. ARITHM. I, 10.
numero pariter inpari sola divisionem recipit maior extre* mitas, in illo vero soius minor terminus seetione solutus est, et quod in forma pariter paris numeri ab estremita- tibus incipienti et usque ad media progredienti, quod con-
5 tinetur sub e^Uremis termiois , idem est iili , quod con- tinetur sub intra se poskis summulis al^ue hoc idem us- quedum ad duas medietates fuerit ventAim in disposiUoni- bus scilicel paribus; si autem fuerint inpares disp^sitio- nes, quod ab una medietate conficitur, boc idem sub
10 altrinsecus positis partibus procreatur , atque hoc usque-
^dum ad extremitates progressio fiat. In ea enim disposi-
tione» quae est par ut U. lUI. VIII. XVi, idem reddunt
•11- per -XVI- multiplicati, quod •IIII- per octonarium
ducti, utroque enim modo •XXXII* fient. Quod si inpar
15 sit ordo , ut est II. IIII. VHL , idem faeient extrenii,
quod medietas; bis enim -VIII* sunt -XVI-, qui numerus
j quaternario in se ducto perficitur. In numero vero
pariter inpari , si fuerit unus in medio terminus, circum
se positorum terminorum, si in unum redigantur, medie-
20 tas est, et idem eorum quoque, qui super hos sunt ter-
minos, medietas est, atque hoc usque ad extrenios omnium
rterminorum, ut in eo ordine, qui est pariter inparium
numerorum» II. VI. X., iunctus binarius curo denario
;XIl* explet, euius senarius medietas invemtur. Si vero
25 fuerint duae medietate»iunctae, ipsae utraeque aequales
erunt super se terminis constitutis, ut est in hoc ordine
' II. VI. X. XHII. luncli enim 11* et Xim. in XVI* cre-
scunt, quos senarius cum denario copulatus efficiet. At-
4 qnod om. c. 5 extimis d, extimiB correclum in extre- mis ]. 10 extrinsecu? 1 ; extrinaecus in contextu, atrinsecas in margine a. 11 processio c, r. 12 par ut om, a, d, 1, r; par nt supnt versum i, par supra versum omisso ut a. 13 duo f. quat. d. II ootonarium numerum a, c, s. 15 faciunt
f. extimi d, ]. 16 octo d. || post -XVl- adduni quatuor quater sunt 'XYL a, b, quater IIII- aont XVI- c, r. In d haee verba in margine erant seripta rurausque deleta suni ra- sura, 21 extimos d, I, 25 duae foerint f. 27 duo c, d, f. II sedecim b, c, d, s. || crescent d. 28 copulatis c» II efficiat r. —
Inst. Arithm, J, Ii. 25
que hoc in numerosioribus terminis iniiio sumpto a me- diis evenit usqiiedum ad extrema veniatur.
Be numero inpariter pari eiusque proprietatibus deque eius ad pariter parem et pariter inparem cognatione.
XI. lapariter par numerus est ex utrisque confectus 5 et medietatis loco gemina extremitate' conduditur, ut, quo. ab utroque discrepet, eadem ad alterutrum cognatione^ iungatur. Hic autem talis est, qui dividitur in aequas partes, cuiusque pars in alias aequas dividi potest, eUam aliquando partes partium dividuntur , sed non usque ad lo unitatem progreditur aequalis illa disiunctio, ut sunt •XXilll* et •XXViII-/vHi enim possunt in medietates dividi a et eorum rursus partes in alias medietales sine aliqua dubitalione solvuntur. Sunt etiam quidam alii numeri, quorum partes alias recipiunt divisiones, sed ipsa divisio i5 ad unitatem usque non pervenit. Igitur in eo, quod plus quam unam suscipit sectionem, babet similitudinem pari- ler paris, sed a pariter inpari segregatur; in eo vero, quod usque ad unum sectio illa non ducitur, pariter in- parem non refutat, sed a pariter pari disiungitur. Con- 20 lingit autem buic numero et utraque habere, quae supe- riores,non habent, et utraque, quae ilii recipiunt, obti- nere. 1 Et habet quidem, quod utrique non habent, quod,) cum in uno solus maior terminus divideretur, in alio vero solus minor tei?minus non divideretur, in hoc neque solus 25 maior terminus divisionem recipit, neque minor solus ter- minus a divisione seiungitur. Nam et partes solvuntur et] usque ad unitatem sectio illa non pervenit, sed ante uni-; tatem invenitur terminue, quem secare non possis. ^Obti^
3 Inscriptionem om, d. Deacriptionm ad impariter paris nataram j^, 1. 7 ad om. a. 10 sed non nt b, d, f, 1.
U pro^rediatur d, f, 1, r; progreditnr , a supra i posito b. |{ aeqaabilis d^ 1. || divisio f. 15 recipiant a, s, recipiunt fi %upra versum I aut b» 17 recipit c. 24 in uno supe- norum f , superiorum eis corr. supra versum 1. |J videretur, di €x corr, addiiOj d. 26 solus minor a, b« 28 illa om. a, non pervenit illa sectio f.
26 INST. ARITHM. I, 11.
net autem, quae illi quoque recipiunt,] quod quaedam
partes eius respondent denominanturque secundum gcnus
suum ad propriam quantitatem , ad similitudinem scilicet
pariter paris numeri , aliae vero partes contrariam deno-
5minationem sumunt propriae quantitatis, ad pariter in-
paris scilicet formam. In •XXUII- enim numero par est
quantitas partis a pari numero denominata. Nam quarta
•VI* secunda -XIL sexta vero •IIII* duodecima «II*, quae
vocabula partium a quantitatis parltate non discrepant.
10 Contrarie vero denominantur, ut tertia pars •VIII*, octava
vero •III- Vicesima autem quarta -I-Cquae denominatio-
nes cum pares sint, inveniuntur inpares quantitates, et
cum sint pares summae, sunt inpares denominationes^
Nascuntur autem tales numeri ita, ut substantiam na-
15 turamque suam in ipsa etiam propria generatione desi-
gnent ex pariter paribus et pariter inparibus procreari.
Pariter enim inpares cuncti dudum ordinatim positis in-
paribus nascebantur, pariter vero pares ex duplici pro-
gressione. Disponantur igitur omnes in ordinem naturali-
20 ter inpares a tribus et sub his a quattuor inchoantes
omnes duplices et sint hoc raodo:
III. vT vir. viiiL XI. xiiL
Iiil Viii. Xvi. Xxxii. Lxiiii. Cxxviil
8 secunda vero a, b, c, d, 1, r. [| sexta vero •IIII' duo- decima -II- secunda -XII- f; sexta vero •IIIL secunda vero •XII' duodecima •II* s. 10 Contrariae c, d, f, r. || ut cum a, cum ut r, s. || •III- c. 11 vero om. c, f. || poit •III-
addita sunt in a: semel •XXIIII- quae quantitas par est, sed denominatio inpar: quae verba secunda manu adscripta sunt in margine in b, d, 1, r. || quarta autem d, f, 1. [| unitas r, unitas est c, unitas est semel •XXIIII- nna, quae quanti- tas par est, sed denominatio impar s. || denominatio cum par sit, invenitnr inpar quantitas a. 16 procreati corre-
ctum in procreari a, c, f ; procreari et supra versum l ti b, r. 19 Disponebantur r. || in ordinem .... inchoantes omnes in margine superiore secunda manu r. || in ordine d. 20 a tri- bus om, a, d, f, r; supra versum c. || •IIII- f. 22 Buic ver- sui addit ah initio: Pariter inpares f; in fine addunt: -XV- b, 1; similiter sequenti versui: Pariter pares f; •CCLVI- b, 1.
Inst. Arithm. I, 11. 27
His igilur ita positis si primus primi multiplicatione con- crescat, id est si quaternarii ternarius, vei si idem pri- inussecundi, id est octonarii ternarius, vel si idem pri- mus tertii, id est ternarius sedecimi, et idem usque ad ultimum, vel si secundus primi, vel si secundus secundi, 5 vel si secundus tertii et eadem usque^ad extremum mulli- pUcatio proferatur, vel si tertius a primo inchoans usque in extremum transeat atque ita quartus et omnes in ordi- nem superiores multipiicent eos, qui sub ipsis in disposi- tionesunt, omnes inpariter pares procreabuntur. Huiusio autem rei tale sumamus exemplnm. Si •III* quater multi- ^ plices -XU- fient, vel si -V- quattuor multiplicent -XX* numerus excrescet, vel si item Vll* multiplicent *IIII- ^XXVIII- succrescet, atque hoc usque in finem. Rursus si •VIII- multiplicent -III* nascentur •XXIQI- ; si •VIII- in is •V- fiunt «XL- , si •VIII- in •VII» coUigentur •LVI- atque ad } hunc modum si omnes inferiores duplices a superioribus multiplicentur, vei si superiores eosdem inferiores multi- plicent, cunctos, qui nati fuerint, inpariter pares in- venies. 20
Atque haec est admirabilis huius numeri forma, quod
cum fuerit ipsa dispositio descriptioque perspecla nume-
rorum, ad latitudinem pariter inparium, ad iongitudinem
pariter parium numerorum proprietas invenitur. Sunt
mm duabus in latitudine medietatibus aequales duae ex- 25
1 Ante His capitis numerum •XII* habet i. [] dispositis b. 4 XVI' a, f, 1, sedecim c, d, s, sedecim et supra versum at. sedecimi b; sed cum linea inductum ei supra versum se» cunda manu sedecim r. 6 vel si secundus secuudi in mar- gine sec, m, d. || alterum si omisso c. 6 si om, d. 7 per- feratnr a, b. || usque ad f. 8 extimum d. 10 procrea- bnntur litteris u et r lineolis induetis b. 12 fient •XII* c, s. 12 et 13 quinque quater multiplices -XX"*"** numerus ezcre- scit f. 13 idem a, d, r, s; item et supra versum l idem b. 1 ini- multiplicent •VII^ b, •IIII* multiplicent quat. d. | U •XX""»^ octavus succrescit f. || in finem usque r; usque om. a. 15 nascuntur a, c, f, r. 16 collig^ntur f. 21 am- mirabilis d, r, s. [| quod et supra versum •!• quia s. 22 dis- cretioque perfecta c. 23 et ad longitudinem s, ad longitudi- nem vero c, s. 25 duobus a, c. {] in latitudine om, &, b, c, f, 1, r, s.
28 INST. ARITHM. I, 12.