16 INST. ARITHM. I, 7.
De principalitate unitatis.
yil. Omnis quoque numerus circum se positorum et
naturali sibimet dispositione iunctorum medietas est; et
qui super duos illos sunt, qui medio iunguntur, si conpo-
5 nantur, etiam ipsorum supradictus numerus media portio est; et rursus iilorum , qui sunt super secundo loco iun- ctos, cum ipsi quoque sint compositi, prior his numerus medietatis loco est, et hoc erit, usquedum occurrens uni- tas terminum ponat, ut si ponat quis quinarium nume-
10 rum, altrinsecus circa ipsum sunt super •IIIL inferius •VI* Hi ergo si iuncti sint, faciunt «X*, quorum -V- numerus medietas est. Qui autem circa ipsos id est circa -VI* et •IIIL sunt, -III* scilicet et -VII-, idem si iuncti sint, eorum quinafius numerus medietas est; rursus istorum, qui al-
15 trinsecus positi sunt, si iungantur, etiam hi quinarii nu-
meri dupli sunt; nam super •IIL sunt -IL, super •VII*
sunt -VIII*; hi ergo si iuncti sint, faciunt -X*, quorum
quinarius rursus medietas est. Hoc idem in omnibus nu-
meris evenit, usquedum ad unitatis terminum perveniri
20 queat; sola enim unitas circum se duos terminos non ha- bet, atque ideo eius, qui est prope se, solius est medie- tas. Nam iuxta -I- solus est binarius naturaliter censtitu- tus, cuius unitas media pars est. Quare constat primam esse unitatem cunctorum, qui sunt in naturali disposi-
25 tione, numerorum et eam rite totius quamvis prolixae genitricem pluralitatis agnosci.
1 Jnscripiionem om. d. 3 et illi qui supra illos duos sunt f.
4 iungantnr, u super a scripio r. || componuntur f. 7 hic a,
is h rasura deleio 1. 9 terminum fecerit c, d, f, 1; fecerit
et supra versum l ponat b. || Juxta sequeniia -I- •II- •III' us-
que ad 'X- in margine f, 1, r; insuper -1- -II- •III- usque ad
or.
•XI- 171 coniexiu f. 10 -1111. d. 11 snnt a, b, d, 1, r, fue- rint c, s. [| facient a, b, c, 1, s. || quinarius c, f, r, s. 13 tres a, f, 1, s || iuncti si c, d, r, s. || sunt a. 14 erit d. 15 ingantnr d, iungatur r. 16 duplici c. || tres d. || duo f. II «VI* sunt -VII- c. 17 stint a, b, c, d, 1, r. 18 quinarius nameras f. 20 autem b, d, f, 1, r. || circa f, 1. 22 unum c, f, 8. 25 prolize c, d, f, 1.
Inst. Arithm. I, 8. 9. 17
Divisio paris numeri,
VIII. Paris autet» numeri species ^unt tres. Est enim una, quae dicitur pariter par, alia vero pariter inpar, ter- tia inpariter par. Et contraria quidem locumque oblinen- tia summitatum videntur esse pariler par et pariter inpar. 5 Medietas autem quaedam, quae utrorumque participat, est numerus, qui vocatur inpariter par.
De numero pariter pari eiusque proprietatibus,
Vnil. Pariter par numerus est, qui potest induo paria dividi, eiusque pars in alia duo paria partisque pars in lo alia duo paria, ut hoc totiens fial, usquedum divisio par- tiun) ad indivisibilem naturaliter perveniat unitatem. Ut •LXIIII- numerus habet medietatem XXXIl-, hic autem medietatem 'XVI- , hic vero VIII- Hunc quoque quaterna- rius ftiaequa partitur, quibinarii duphis est; sed binarius i5 uuitatis medietate dividitur, quae unitas naturaliter singu- laris non recipit sectionem. Huic numero videtur acci- dere, ut quaecunque eius fuerit pars, cum nomine ipso vocabuloque pariter par inveniatur; tum etiam quantitate. Sed ideo mihi videtur hic numerus pariter par vocatus, 20
1 Inscript. om. d. In s kaec numerorum disposiiio addiia esi
I. I. II. m. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X.
X. 2 •IIL a, b, c, 1, r, 8. 4 e contraria c. || locnmque ei iupra versum l loca b, locaque a, loca 8, locumque in liiura r. 8 eiusqne proprietatibus om, d. 1| et eiusdem s. 11 tocies a, tociens b, c, r. 12 indivisionem c. 13 antem nume- "18 b, c, 8. 14hic autem VIII. f. 17 Huic autem f; Huic pariter pari s. 18 primo cum nomine f. 19 tunc c, r.
Boetius. 2
18 INST. ARITHM. I, 9.
quod eius omnes partes et nomioe et quantitate pares
pariter inveniantur. Quomodo autem et nomine et quan-
titate pares iiabeat partes hic numerus, post dicemus.
Horum autem generatio taiis est : ab uno enim quoscun-
5 que in duplici proportione notaveris, semper pares pariter procreantur.^raeter lianc autem generationem ut nascan- tur aliter inpossibiie est.^ Huius autem rei tale detur per ordinem descriptionis eiemplum sintque cuncti duplices ab uno I. H. HH. VUI. XVI. XXXH. LXIHI, CXXVIIL
10 CCLVI. DXII. atque hinc si fiat infinita progressio, tales cunctos invenies, factique sunt ab uno in duplici propor- tione, et omnes sunt pariter pares. Illud autem non mi- nima consideratione dignum est, quod eius omnis pars ab una parte quacunque, quae intra ipsum numerum est,
15 denominatur tantamque summam quantitatis includit, quota pars est alter numerus pariter paris illius, qui eum continet, quantitatis. Itaque tit, ut sibi partes ipsae respondeant, ut quota pars una est, tantam habeat filtera quantitatem, et quota pars ista est, tantum in priore
20 summa necesse sit muititudinis inveniri. £t primum fit, si pares fuerint dispositiones, ut duae mediae partes sibi respondeant, post vero quae super ipsas sunt, sibi invi- cem convertantur, atque hoc idem fiat, donec uterque terminus extremitatis incurrat. Ponatur enim pariter
25 paris ordo ab uno usque •CXXVIII- hoc modo: I. H. IIIL VHI. XVI. XXXII. LXIIU. CXXVIII. et ea sit summa ma-
1 omnes eius d, f , 1, r, s. 1| pariter pares c. 2 inve-
niuntur f. || quo autem modo f, s. ; autem om. r, sed in
margine: quo autem modo. 5 pariter pares f. 7 ▼rdetur
a, videtur et supra versum l detur b, ufdetur r. 8 discre-
tionis a [| sintque] ut sint r || cuncti in ordinem c , s ; in ordine supra versum d. 9 uno ex corr. addit r \\ •!• om.
a, c. 10 in infinita b, 1. 11 in om, a, b. 12 pariter pares sunt f. 13 omnis eius f. 14 quacunque om, a, c ; quacunque parte f , s. || inter r. || est numerum c. 15 tan- tumque a, r. 19 ita d, ipsa f, est ista c. || tantam in priore summam a, b; tantum in priore summam, f, 1; in f tamen priore in prioris mutatum est sec. manu, 20 fit] sit e. 22 ipsa f, ipsas partes s. |j sint c. 24 eztremitates b, f, r, 8, 25 iidem numeri in 1 iterum leguntur in parte dextera.
Inst. Arithm. I, 9. 19
xima. In hoc igitur, quoniam pares dispositiones sunt,
una medietas non potest inveniri. Sunt igitur duae, id
est*VIl[* et -XVI- quae considerandae sunt, quemadmo-
dum ipsae sibi respondeant. Totius enim summae, id est
•CXXVUI- octava pars est -XVI-, sextadecima • VIII -5
Rursus super has parles quae sunt, ipsae sibi invicem
respondebunt, id est - XXXII- et 1111- ^Nam - XXXII -
quarta j^ars est totius summae, -IIII- vero tricesima
secunda. Rursus super has partes -LXIIII- secunda pars
est, -11- vero sexagesima quarta; donec extremitates limi- lo
tem faciant, quas dubium non est eadem responsione gau-
dere. Est enim omnis summa semel -CXXVIIIs unus
vero centesimus vicesimus octavus.
Si autem inpares terminos ponamus, id est summas — idem enim terminos quod summas nomino — secundum i5j inparis naturam potest una medietas inveniri atque ipsa una sibi est responsura. Si enim ponatur hic ordo I. II. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. una erit sola medietas, id est VIII. , qui VIII. summae totius pars est octava , et sibi ipsi ad denominationem quantitatemque convertitur. Eo- 2a demque modo sicut superius circa ipsum qui sunt termini donant sibi mutua nomina secundum proprias quantitates Tocabulumque permutant. Nam -IIII- sextadecima pars est totius summae , • XVI • vero quarta. £t rursus super terminos hos - XXXII • secunda pars est totius summae, 25 •II- vero tricesima secunda ; et semel tota summa -LXIIII- sunt, sexagesima quarta vero unitas invenitur. Hoc igi- tur est, quod dictum est, omnes eius partes et nomine et quantitate pariter pares inveniri.
itemque in s in margine, ubi addita sunt haec: Centesima XX a
Vni As. Sexagies quater II. CXXVIII et cetera usque ad CXXyni. 4 sibi ipsae c, d, 1; sibi invicem ipsae r.
va
5 VIII f. 6 sibi ipsae b, d, 1, r, s. 7 respondebnnt invi-
or
cem f. II •im- f. 8 — 9XXXIL c. 10 duo f. 12 unnm
vero centesima vicesima octava s. 13 vicesimus om, c. 17 una
sibi ipsa a, c. || responsura est f. 20 Eodem quoque f.
24 Et om. i9. 25 bos terminos d, I. 26 dno c.
20 [INST. ARITHM.:i,/9.
Hoc quoque multa consideratione muUaque constantia
divinitatis perfectum est, ut ordinatim dispositae minores
summae in hoc numero et super se ipsas coacervatae se-
quenti minus uno semper aequentur. Si enira unum iun-
5 gas his, qui sequuntur, duobus, fiunt •lU*, id est, qul uno minus quaternario cadant, et si superioribus addas •IUI-, sunt •VII* , qui ab octonario sequente sola unitate vincun- tur. Sed si eosdem VIII- supradictis adiunxeris» -XV* fient, qui par •XVI- numeri existeret quantitati, nisi minor
10 unitas inpediret. Hoc autem prima etiam numeri proge-
nies servat atque custodit. Namque unitas, quae prima
est, duobus subsequentibus sola est unitate contractior;
unde nihil mirum est , totum summae cremeatum proprio
consentire principio. Haec autem nobis consideratio ma-
15 xime proderit' in his numeris cognoscendis , quos super- fluos vel inminutos perfectosque monstrabimus. lilic enim coacervata quantitas partium numeri totius termino com- paratur.
I^ilud quoque nulla possumus oblivione transmittere,
20 quod in hoc numero respondentibus sibi invicem partibus multiplic^tis maior extremitas eiusdem numeri summaque conficitur.^ Et primum si pares fuerint dispositiones medii multiplicantur atque deinde qui super ipsos sunt et usque ad supradictas extremitates. Si enlm fuerint pares dispo-
25 sitiones secundum naturam paris duos in medio terminos continebunt, ut in ea dispositione numerorum, in qua ex- tremus terminus • CXXVIil • finitur. In hoc enim numero medietates sunt •VIII' scilicet et •XVI-, quae in se muiti- plicatae maioris sumroam crescente pluralitate conficient.
30 Octies enim -XVI- vel sedecies -Vni-, si multiplices,
1 constantiae divinitate a, b, f; eadem correxit in con- stantia diyinitatis d, constantia (e rasura deleto) divinitate c. 4 iungas unnm f. 5 sequantur-c. 6 qnatuor f. 8 octo d, f. [| quindecim a, 1, r, s. 9 fiunt c. || sextidecimi c. II numeri -XVI- f. || quantitatis a , quantitate d , 1. 10 etiam prima c, f, s. || progenies numeri s. 12 sequentibus
ondsso sub b, d, f, 1. 16 minutos c. || demonstrabimus f. II In illis d, 1. 23 inde a, d, f, 1. 24 pares fuerint c, s. 28 octo d.
Inst. Arithm. I, 10. 21
•CXXVIU- summa concrescet, atque hi numeri, qui super eosdem sunt, si multiplicentur, idem faciunt. Nam -1111* et •XXXIls in sesi muitiplices supra dictam facient extremita- tem. •UII* enim tricies et bis, ^el quater -XXXU* ducti •CXXVIIL inmutabili necessitate conplebunt, atque hoc s iisque ad extremos terminos cadit, id est •!• et *CXXVIII- Semel enim extremus terminus •CXXVUI- est; centies vi- cies atque octies unitate muiliplicata nihil de priore quan- titate mutabitur.
Si autem inpares fuerint dispositiones , unus medius lo terminus invenitur, atque ipse sibi propria multiplicatione respondet. In eo namque ordine numerorum , ubi extre- mus terminus •LXIIII* pluralitate concluditur, sola inveni* tur una medietas, id est -Vm-, quam si octies id est in semet ipsum muitipiices -LXIUI- explicabit, atque idem i5 reddent illi , qui super hanc medietatem sunt, ut dudum hi, qui super duas positi, faciebant. Nam quater «XVL •LXIIIL sunt et sedecies 'IIIL idem conplent. Rursus bis •XXXIL facti a •LXIIII- non discedunt, et tricies bis Ih eosdem cumulant, et semel •LXIIII* vel unitas sexa- 20 gies quater multipiicata eundem numerum sine ulla varie- tate restituent.
De numero pariter inpari eiusque proprieUttibus*
X. Pariter autem inpar numerus est, qui et ipse quidem paritatis naturam substantiamque sortitus est, sed 25 Id contraria divisione naturae numeri pariter paris obpo-
3 in sese ante in ex corr. si addiio a, in se c, in Se se, altero se in si correcio, d. 4 quatnor f. [] bis m margine, in coniextu secnndnm, sed Hnea suhnotatum a, secundo et supra
versum bis d, duo et supra versum secnndo r, •IIII c. || •XXXlI^
quater s. 5 implebunt a. 14 una om. d, L octo
a, b, 1., r. 1] si octies] socies, liiura inier e et b intercedenie d; ai ocaieg r. 17 post faciebant addit summam numero- Bitatis extremae a, m s haec in margine leguniur. 18 sede- cim d, f. II quater a, quattuor d, r. 20 duo d, f» 23 nu- inero om. d, l. || eiusque proprietatibus om, d. || et eius- dem 8« 24 inpar autem d, 1, r. 25 est posi paritatis pomni b, d, 1.
22 INST. AHITHM. I, 10. j
nitur. Docebitur namque, quam longeJiic dissimiii ratione dividatur. Nam quoniam par est, in partes aequales reci- pit sectionem, partes vero eius mox indivisibiles atque in- secabiies permanebunt, ut sunt •¥!• X* XniL XVIH-
5 XXn* et his similes. Mox enim hos numeros si in gemina
fueris divisione partitus, incurris in inparem, quem secare
non possis. Accidit autem his quod omnes partes contra-
rie denominatas habent, quam sunt quantitates ipsarum
partium, quae denominantur. Neque unquam fieri pot-
10 est, ut quaelibet pars huius numeri eiusdem generis deno-
minationem quantitatemque suscipiat. Semper enim si
denominatio fuerit par, quantitas partis erit inpar, si
denominatio inpar, quantitas par: ut in •XVIII* secunda
eius pars, id est media, quod parilalis nomen est,