3 post ad aliquid: est r, sitpra ad aliquid: est b. || mu- sicae modulationis s. || praenoscunt a, f, r, s. 4 geome- trica a, Cy d, f, r. 6 vero om. a, d, f, 1, r. astrono- miae c. 6 vindicat I, vendicavit, a, b, c, d, r. || •IIII' c. 7 poterit b, c. potest f. poterit si sit Hnea subnotaium et supra versum possit r. 9 verae c, d, 1. 11 sententias sa- pientiae c esde om. c, d, f, I, r, s. 18 corporis sui recipit f. [| infinitatem naturae d, 1. 22 ratio ipsa f. ea ipsa ratio s [] posset d, f, 1. 23 infinita c, r in litura. infinite f. 24 finite f. 26 deposcit a, c, d, r, s.
10 INST. ARITHM. I, l.
ad intellegentiae certiora perducitur. Sunt enim quioam
gradus cerlaeque progressionum dimensiones, quibus
ascendi progredique possit, ut animi illum ocuium, qui,
ut ait Piato, muitis oculis corporalibus salvari constitui-
5 que sit dignior, quod eo solo lumine vestigari vei inspici veritas queat, hunc inquam oculum demersum orbatum- que corporeis sensibus hae discipiinae rursus inluminent.
r^Quae igitur ex hisce prima discenda est nisi ea, quae principium matrisque quodammodo ad ceteras obtinet
10 portion^m ? Haec est autem arithmetica. Haec enim |
cunctis prior est, non modo quod hanc ille huius mun- !
danae molis conditor deus primam suae habuit ratiocina-
tionis exemplar et ad hanc cuncta constituit, quaecunque
fabricante ratione per numeros adsignati ordinis invenere
15 concordiam, sed hoc quoque prior arithmetica declaratur, quod, quaecunque natura priora sunt, his sublatis simul posteriora tolluntur; quod si posteriora pereant, nihii de statu prioris substantiae permutatur, ut animal prius est | homine. Nam si tolias animal, statim quoque hominis
20 natura deleta sit, si hominem sustuleris, animal non per-
ibit. Et e contrario ea< semper posteriora sunt, quae
secum aliud quodlibet inferunt, ea priora, quae cum
dicta sunt, nihil secum de posterioribus trahunt, ut in!
eodem quoque homine. Nam si hominem dixeris, simui
25 quoque animai nominabis, idem est enim homo, quod
animal; si animal dixeris, non speciem simul hominis in-
tuiisti, non est enim idem animal, quod homo. Hoc idem
in geometria vel arithmetica videtur incurrere. Si enim
numeros tollas, unde triangulum vei quadratum vel quic-
30 quid in geometria versatur, quae omnia numerorum de-
1 producitur c. 7 eae a, b. || rursum a, d, f, l^ 8 post his lituram hahet a, supra versum al. ex his b, his ee c, his-; cae d. 10 Haec om. c. 11 prior cunctis c. 12 ratio^ nationis s. 17 posteriora tolluntur simul 1. et quod f, 1. i| posteriora si f. si posteriores s. 23 sint c, f, s. 26 s| animal quoque dixeris b. 28 geometrica a, c, d, f, r, sj in 1 c rasura deletum. 30 geometrica a, c, d; in 1 c rctsurc deletum.
mST. ARITHM. I, 1. 11
nominativa sunt? At vero si quadratum triangulumque susluleris omnisque geometria consumpta sit, tres et quattuor aliorumque numerorum vocabula non peribunt. Rursus cum aliquam geometricam formam dixero, est illi simul numerorum nomen inplicitum ; cum numeros di- 5 xero, nondum ullam formam geomelricam nominavi. Mu- sica vero quam prior sit numerorum vis, hinc maxime probari potest, quod non modo illa natura priora sunt, quae per se constant, quam iiia, quae ad aliquid referun- tur. Sed etiam ea ipsa musica modulatio numerorum lo nominibus adnotatur» et idem in bac evenire potest, quod in geometria praedictum est. Diatessaron enim et dia- pente et diapason ab antecedentis numeri nominibus nun- eupantur. Ipsorum quoque sonorum adversus se pro- portio solis neque aliis numeris invenitur. Qui enim i5 sonus in diapason symphonia est, idem dupiicis numeri proportione coiligitur; quae diatessaron est modulatio, epitrita conlatione componiturr quam diapente sympho- niam vocant, hemiolia medietate coniungitur; qui in nu- meris epogdous e^, idem tonus in musica, et ne singula 20 persequi laborem, huius operis sequentia, quanto prior sit arithmetica sine ulla dubitatione monstrabit. Spheri- cam vero atque astronomiam tanto praecedit, quanto duae reliquae disciplinae hanc tertiam natura praecedunt. In astronomia enim circuli, sphera, centrum, parallelique 25 circuli mediusque axis est, quae omnia geometricae disci- plinae curae sunt. Quare est etiam ex hoc ostendere se- niorem geometriae vim, quod omnis motus est post quietem et natura semper statio prior est, mobilium vero
I 2 geometrica a, c, d, s; iti 1 c rasura deletum, Q -111* et
] XHl' a, c, 1, 8. 3 non peribnnt vocabula c. 4 rursum a, ' c, f. 10 modulatio musica f. 12 geometrica a, c, d; geometria in litura 1; iTt s c rasura deletum. 13 anteceden- tibns c, r. 17 proportio c. 18 modulatione, supra versum l conlatione r. || componit c || symphonia m rasura deleto c. 19 coniungit c. 20 apogdous c. 23 astronomicam a, f, 1; in d c rasura deletum, 27 cura a, b, c, r, s. 28 geo- metricae c, d, 1, r, s. 29 statu a, supra versum s. motu b j[ post est addit motu s.
12 INST. ARITHM. I, 2.
astronomia, inmobilium geometria doctrina est; vel quod
armonicis modulationibus motus ipse ceiebratur astro-
rum. Quare constat quoque musicae vim astrorum cursus
antiquitate praecedere, quam superare natura arithmeti-
5 cam dubium non est, cum prioribus, quam illa est, videa-
tur antiquior. Proprie tamen ipsa numerorum natura
omnis astrorum cursus omnisque astronomica ratio con-
stituta est. Sic enim ortus occasusque coUigimus/ sic
tarditates velocitatesque errantium siderum custodimus,
10 sic defectus et multiplices lunae variationes agnoscimus.
Quare, quoniam prior, ut claruit, arithmeticae vis est,
hinc disputationis sumamus exordium.
De suhstantia numeri,
II. Omnia quaecunque a primaeva rerum natura
15 constructa sunt, numerorum videntur ratione formata.
Hoc enim fuit principale in animo conditoris exem-
plar. Hinc enim quattuor elementorum multitudo mu-
tuata est, hinc temporum vices, hinc motus astro-
rum caelique conversio. Quae cum ita sint, cumque
20 omnium status numerorum colligatione fungatur, eum
quoque numerum uecesse est in propria semper sese ha-
bentem aequaliter substantia permanere, eumque compo-
situm non ex diversis — quid enim numeri substantiam
coniungeret, cum ipsius exemplum cuncta iunxisset? —
25 sed ex se ipso videtur esse compositus. Porro autem ni-
hil ex similibus componi videtur, nec ex his, quae nuUa
rationis proportione iunguntur et a se omni substantia
naturaque discreta sunt. Constat ergo, quoniam coniun-
ctus est numerus, neque ex similibus esse coniunctum
30 neque ex his, quae ad se invicem n\iHa ratione proportio-
1 geometrica c, d, f, r; tn 1 c rasura deletum. 4 proce- dere a. 6 antiquior videatur a, c, f , s. || in ipsa f. 13 In- scriptionem secunda manus addidit in d. 20 rerum omnium f, omnium rernm s |1 numerum c || collectione r. • 26 ex his om, 1 ; in margine add. d. 27 coniunguntur f . 30 se ad d. || ra- tioni, s rasura deleto, c.
Inst. Arithm. I, 3. 4. 13
nis haerent. Erunt ergo, numeros prima quae iungant,
ad substantiam quidem quae constent semperque perma-
neant. Neque enim ex non subsistentibus efiici quicquam
potest et suni ipsa dissimilia et potentia conponendi. Haec
autem sunt, quibus numerus constat, par atque inpar 5
quae divina quadam potentia , cum disparia sint contra-
riaque, ex una tamen genitura profluunt, et in unam
compositionem modulationemque iunguntur.
Definitio et divisio numeri et definitio paris et inparis.
III. Et primum quid sit numerus definiendum est. lo Numerus est unitatum collectio, vel quantitatis acervus ex unitatibus profusus. Huius igitur prima divisio est in inparem atque parem. Et par quidem est, qui potest in aequalia duo dividi, uno medio non intercedente , inpar vero, quem nuilus in aequalia dividit eo, quod in medio i5 praedictus unus iutercedat. Et haec quidem huiusmodi definitio vulgaris et nota est.
Definitio numeri paris et inparis secundim Pythagoram,
Uil. Illa autem secundum pythagoricam disciplinam
talis est: par numerus est, qui sub eadem divisione potest 20
in maxima parvissimaque dividi, maxima spatio, parvis-
sima quantitate secundum duorum istorum generum con-
trarias passiones. Inpar vero numerus est, cui hoc qui-
dem accidere non potest, sed cuius in duas inaequales
1 Ergo eront 1. || supra versum l orum id est numerorum b, namerorum et in margine numeros r. || que f. || coniungant f. 2 constant a, c, s. 7 tamen ex una c, f, s. || genltura in mar- gine a. 9 Inscriptionem secunda manus addidit in d || Defi- nitio et om, f. et definitio om» c, r, s [| differentia paris f. 11 Numerus enim f. 13 est quidem f. 14 intercidente f. 16 intercidat b , f , 1 , s. 18 Insqriptionem om, d. || numeri ^. f, 1, r. 21 dividi . . . quantitate in margine superiore d. , paryissimaque quantitate f. 22 istorum duorum s || duo- nun correani in duum a. 23 et 24 Definitionem inparis nu-
^eri in fine capitis huiits collocant c, d, f, I, r, s. || hec f. || idem d, 1, s. 24 accedere a.
14 INST. ARITHM. I, 5.
summas naluralis est sectio. Hoc est autem exemplar:
ut si quiiibet datus par numerus dividatur, maior qui-
dem quantum ad divisionis spalia non invenietur, quam
disgregata medietas, quantitate vero nulia minor est,
5 quam in gemina facta partitio; ut, si par numerus, qui est •VIU-, dividatur in •Illl* atque alios •IIIIs nulia erit alia divisio, quae maiores partes efficiat; porro autem nulla erit aiia divisio, quae totum numerum minore dividat quantitate. In duas enim parles divisione nihil minus est.
10 Cum enim totum quis fuerit trina divisione partitus, spatii
quidem summa minuitur, sed numerus divisionis augetur.
Quod autem dictum est: secundum duorum generum con-
trarias passiones, huiusmodi est: praedocuimus enim
quantitatem in infinitas piuralitates adcrescere, spatia
15 vero, id est magnitudines in infinitissimas minui parvita- tes atque ideo hic contra evenit. Haec namque paris divi- sio spatio est maxima, parvissima quantitate.
Alia secundum antiquiorem modum divisio paris et inparis.
V. Secundum antiquiorem vero modum alia est paris 20 numeri definitio. Par numerus est, qui in duo aequalia et in duo inaequalia partitionem recipit, sed ut in neutra divisione vel inparitati paritas vel paritati inparitas miscea- tur, praeter soium paritatis principem, binarium nume- rum» qui in aequalem non recipit sectionem, propterea 25 quod ex duabus unitatibus constat et ex prima duorum quodammodo paritate. Quod autem dico, taie est: si enim ponatur par numerus, potest in duo aequaiia dividi, ut denarius dividitur in quinos, porro autem et per inaequa- lia, ut idem denarius in •III* et •VIl-, sed hoc modo^ ut cum
1 Hoc autem est, omisso vocahulo exemplar d, 1. Hoc au- tem exemplar est r. 2 quis libet a, s. 4 sit a, d, 1. 6 quat- tuor pro •lUL d, quattuor et in -nU- s. || alias c. 12 duo- rum correant in duum a. 16 infinitas f. 18 Inscriptionem om, d. 22 vel paritati imparitas yel imparitati paritas f. |{ vel paritati imparitas in margine superiore d. 25 constat unitatibus f. 27 aequa b, d, I. 28 per om, d. 29 tres et septem r, tres et in -VIL f.
Inst. Arithm. I, 6. 15
una pars fuerit divisionis par, alia quoque par inveniatur, et si una inpar, reliqua ab eius inparitate non discrepet, ut in eodem numero, qui est denarius. Cum enim divisus estin quinos, vel cum in tres septem, utraeque in utra- que portione partes inpares extiterunt. Si autem ipse, 5 vel alius numerus par, dividatur in aequales, ut octona- rius in •IIII- et 'IIII- , et item per inaequales, ut idem octo- narius in -V- et -III-, in illa quidem divisione utraeque par- tes pares factae sunt, in hac utraeque inpares extiterunt; neque unquam fieri potest, ut, cum lina pars divisionis lo par fuerit, alia inpar inveniri queat, aut, cum una inpar sit, alia par possit intellegi. Inpar vero numerus est, qui ad quamlibet illam divisionem per inaequalia semper divi- ditur, ut utrasque species numeri semper ostendat, nec unqnam altera sine altera sit, sed una pars paritati, in- 15 paritati alia deputetur, ut, •VII* si dividas in •IIL atque -IIII-, altera portio par altera inpar est. Et hoc idem in cunctis inparibus numeris invenitur, neque unquam in inparis divisione praeter se esse possunt. Hae geminae species, quae naturaliter vim numeri substantiamque componunt. 20
JDefinitio paris et inparis per alterutrum,
VI. Quod si haec etiam per alterutras species defi- nienda sunt, dicetur inparem numerum esse, qui unitate (liffert a pari vel cremento vel deminutione. Par item nu- merus est, qui unitate differt ab inpari vel cremento vel 25 deminutione. Si enim pari unum dempseris, vel unum adieceris, inpar efficitur, vel si inpari idem feceris, par continuo procreatur.
1 faerit om, c. 4 tres vel in septem a, •III- et •VII- c, 1, tres et •Vn* f. 6 et octonarins f. 8 qoinque et tres d. 11 nt c. U ut secunda manus addidit in d. || ostendit c. 16 septem m-IJl- et -ini- a, c, f, tres atque quattuor d, -III- atque in nil- r, 8. 18 numeris om, f. 19 Haee a. 21 Inscript, (^^ d. II et inparis om. f . 24 incremento f. [) Item par c, f, s, Item par iterum a. 25 vel cremento supra versum ^^ corr. d. 26 demseris a, b, s.